六面体传热单元Matlab有限元编程：三大类边界条件和体积热源（上）

导读：上一篇文章从传热学基础到弱形式推导：拆解热传导问题Matlab有限元离散核心讲述了我的仿真秀官网原创首发的视频课程《热传导问题Matlab有限元编程》第2~4讲的主要内容，带读者熟悉传热学的基本概念、控制方程及弱形式推导过程。本文介绍《热传导问题Matlab有限元编程》视频教程的第5~7讲，主要带大家了解三维传热问题控制方程（三维泊松方程）、单元类型选择（八节点六面体）、形函数构造（自然坐标下的双线性形式）、等参变换的实质（坐标-函数用同一形函数映射）、刚度矩阵和热载荷的积分计算（高斯积分在三维的应用）、边界条件处理（三类边界在三维表面的积分），以及组装求解的通用流程等内容。

由于内容较多，因此分为上下两篇，上篇重点介绍相关的有限元理论及公式的推导，下篇则侧重编程实现方法。因为二维传热问题是三维传热问题的简化和抽象，因此三维传热问题相比二维传热问题理解起来更直观更简单，所以我们先从理解起来比较简单的三维传热问题入手有限元编程，采用的单元也是常用的六面体单元，求解精度对标ANSYS中的solid70单元，误差小于1%。

一、热传导控制方程  

如果你有结构力学有限元编程的基础，可以通过类比的方法去理解传热有限元编程：与弹性力学问题的求解相同, 热传导问题的求解也是通过插值函数进行离散之后, 从泛函驻值条件建立起有限元求解方程。不同之处在于场变量，在弹性力学问题中场变量是位移, 是向量场, 而热传导问题中场变量是温度, 是标量场。因此, 热传导问题要比力学问题相对简单些。

我猜我们大多数人是比较熟悉结构力学有限元编程的一些概念，其实许多热传导物理量可以与弹性力学问题中的物理量进行类比, 比如位移与温度, 比热容与密度 (对于瞬态问题表示场变量的惯性效应, 稳态问题不起作用), 节点热流量和节点力，对流换热表面热通量与表面分布力，位移边界条件与固定温度边界条件，热源与体积力。注意区分热通量与热流量的概念，热通量（heat flux）表示单位时间单位面积内通过的能量，单位 W/m^2，热通量也叫热流密度；热流量（heat flow）可以简单理解为热量，表示一段时间内热量的变化,重点是量, 不存在单位面积体积的概念, 单位是 W , 可以简单理解为热通量在边界上的面积积分就是热流量，热流量也称热流率。  

传热学中，对于一个三维实体，t 时刻的瞬态温度 的计算公式如下，

    (1)

其中 为热通量分量, 将 代入式(1)可得：

    (2)     

其中: x,y,z 为热传导主方向;  分别为x,y,z方向的热传导系数; 是单位体积发热率; 是材料密度; C是比热。对于稳态传热问题，公式 1 中的时间偏导项可忽略不计。初始条件如下；

    (3) 

边界条件暂不考虑热辐射边界条件，主要包含以下三种：

(1) 温度边界条件:

    (4)

(2) 热通量边界条件:

(3) 对流换热边界条件:

    (5) 

其中： 为特定嗢度；q为热通量；h为对流换热系数；分别为边界朝外的正方向； 为表面温度； 为环境温度。

二、有限元方程的建立  

三维六面体实体热单元，可以用于模拟三维热分析。该单元由8个节点构成，节点有1个自由度：温度。单元几何形式如下图所示：   

图2-1 三维六面体实体单元示意图  

1、单元形函数  

三维8节点六面体实体单元中任意一点的坐标如式（1）所示。

  （6）  

其中:（x,y,z）为单元内任意一点的空间位置坐标, 为自然坐标，为形函数，为节点序号，形函数的表达式如下： 

   （7） 

也可以简单表示为：

   (8)  

三维六面体实体单元不考虑发热率和对流换热问题，发热率和对流换热将由专门的单元实现，因此式（4-7）和（4-8）可忽略。  

单元中的温度可以通过形函数插值得到：

（9）

或以矩阵形式表示为:

（10）

其中：

为形函数矩阵;

为节点温度矩阵。

对式(10)进行偏分得到:

    (11) 

其中[B] 为温度梯度插值矩阵。

2、弱形式的推导  

采用 Galerkin 方法，权函数等于插值函数。将热控制方程与权函数相乘并在计算域内积分,式(1)可表示为：

（12）

对前 3 项应用发散定理可得：

（13） 

其中：  

将边界条件代入式(13)可得：  

3、刚度矩阵和热流向量  

在上一节的控制方程弱形式的基础上，带入式（6~8）关于形函数的表达式以及式（9~10）所示的温度场的离散表达式，可以直接将 代入弱形式表达式可得: 

 （14）

其中:

[C]为比热矩阵:

    （15）

[  ] 为热导率矩阵:

    （16）  

[H]为修正矩阵

     （17）

为温度边界条件产生的热流量：

（18） 

为热通量边界条件产生的热流量：

（19） 

为对流边界条件产生的热流量：

（20）

 为体积热源产生的热流量：

      （21）  

4、等参单元与高斯积分  

在对上述公式采用高斯数值积分方法进行完全积分前, 先将空间坐标系转换为自然坐标系  ，空间坐标系与自然坐标系之间的转换矩阵即为 Jacobian 矩阵，可表示为:

  （22）

将式(1)代入式(5-2)可得:

（23）

假设 Jacobian 矩阵是可逆的, 则可以得到:

    （24）

经过 Jacobian 矩阵转换，比热矩阵式（15）可表示为：

（25）

热导率矩阵式(16)可表示为：

（26）  

以上就是关于六面体单元的有限元方程的推导。由于篇幅问题，其他内容请查看后续文字。更多内容可参考我的《热传导问题Matlab有限元编程》视频课程！

三、为什么要学习这门课程  

回到我们的课程，热传导分析是工业设计的重要支柱，从电子芯片的散热优化到航天器的热防护设计，从金属成型的热处理到建筑节能的温度场模拟，这些看似迥异的工程问题背后都遵循着相同的传热学规律。

本课程将带您突破有限元在结构力学领域的应用范围，在Matlab平台上构建全新的传热问题的有限元求解体系，并通过解决热固耦合问题，将有限元在传热领域和结构力学领域的应用融会贯通，最后你会惊喜地发现：无论是热传导方程还是结构力学方程，其有限元求解的本质，竟都扎根于偏微分方程的数值离散之道。以下是我认为学习这门课程价值所在：

1、全链路实战：从理论到工业级代码落地。课程内容覆盖传热学基础、有限元弱形式推导、稳态 / 瞬态求解、热固耦合等核心理论，配套 2D/3D 单元（tri3/quad4/tet4/hex8）代码实现，对标 ANSYS 精度（误差 <1%），真正做到 “理论懂原理，编程能上手”。

2、破解商业软件 “黑箱”：掌握结果背后的逻辑。深入讲解三类边界条件（固定温度、热流密度、热对流）、体积热源施加的底层算法，让你理解仿真结果的误差来源、合理性判断依据，不再盲目依赖软件输出。针对非常规问题（如特殊热源、复杂耦合场景），教你开发专用工具，满足科研中的参数化研究、优化设计等定制需求，为论文或项目提供独家数值支持。

3、热固耦合全掌握：从温度场到应力场一站式求解。涵盖间接耦合（先求温度场再算热应力）和直接耦合（同步求解温度、位移、应变场），完整复现工业级热 - 结构耦合仿真流程，适应机械、航空航天等多领域需求。

图片由AI生成

4、超全学习包：省时省力高效进阶。随课附赠课程讲义、案例源码、理论文本及 30 余本经典有限元教材，理论资料   实战代码无缝衔接，加速学习进程（在入VIP群领取）。

5、多场景适配：满足不同群体核心需求包括：

（1）研究生：获得论文所需的数值工具和结果；

（2）工程师：提升对商业软件结果的解读能力；

（3）开发者：掌握行业必备的热仿真编程技能，增强技术竞争力。

6、本课程还为付费用户提供VIP群 交流、答疑服务、持续加餐内容、提供定制化培训和咨询服务、仿真人才库岗位推荐就业、仿真秀还提供奖学金、学完此课程，推荐学习者报名参加“工程仿真技术（CAE分析师）职业能力等级评价考试”。

课程可随时回放，可开具发票

讲师提供vip群知识圈答疑和模型下载

《热传导问题Matlab有限元编程》

虽惯用代码与方程丈量世界，却总被文字的温度所触动。近日偶得几行箴言，恰似为这门传热有限元课程而生，愿以它作结，献给在科学与诗意间穿行的你。"当矩阵的严谨拥抱热流的恣意，当循环的秩序邂逅温度的跃迁，我们终将明白：有限元不仅是求解偏微分方程的工具，更是工程师写给物理世界的情书。

来源：仿真秀App