单元技术：解决剪切自锁的利器：非协调单元-Hanfem结果完美匹配abaqus

寒江雪_123

12月前浏览1593

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在有限元计算中，对于低阶单元，剪切自锁是有限元分析中一个常见的问题。当单元在承受弯曲载荷时，由于一阶单元插值函数为线性，无法完美匹配弯曲变形的实际形状，导致单元变得过于僵硬，计算得到的弯曲变形远小于真实值。严重影响了有限元分析在弯曲问题上的准确性。

对于剪切自锁这一问题，有多种方式可以克服，常见的方式包括缩减积分，选择性缩减积分，非协调元等。本文主要介绍非协调单元，这种单元技术也称之为增强应变单元。

非协调单元的原理，是在一阶单元的位移模式中增加附加的非协调自由度，这些非协调自由度通常用二阶插值函数进行插值。由于进行了二阶插值，因此可以一定程度上反映弯曲带来的位移模式。同时，对于每一个单元来说，非协调自由度是仅在单元内部进行插值的，相邻单元并不共享同一非协调自由度，对于相邻单元来说，由于其“非协调自由度”是相互独立的，从而导致单元之间的“边”的位移是非协调的，如下图所示。当然，单元之间的节点位移还是协调的。

   

   

尽管这种处理方式似乎看起来似乎很粗糙，但实际上对于弯曲问题却能获得更好的结果。最早使用这种技术是E.L.Wilson，他对平面单元使用了4个额外的附加非协调自由度，对非协调自由度采用二阶插值函数插值，从而获得了比普通的线性协调元更为准确的计算结果。

 

 

当单元为线性8节点三维实体单元时，位移表达式如下：

 

 

采用了上面这种方法之后，对于平行四边形或者平行六面体，能够通过“分片试验”，而对于不规则形状的单元，仅采用上述方式无法通过“分片试验”。在后续的研究中，有两种常见的方式使得非协调单元可以通过分片试验。一种是K.J. Bathe提出的:

 

 

另一种方式是Taylor等人提出的：

 

 

这两种方式实际上都是对B矩阵进行一定的修正，从而使得最终的单元通过分片试验。

在完成上述工作后，形成的刚度矩阵和位移，内力的表达式如下：

这里的是“非协调位移”。正如之前所说，单元的非协调自由度是内部自由度，相邻单元之间的非协调自由度是相互独立的，相邻单元之间的非协调自由度不需要进行组装。在实际操作中，可以通过“凝聚”的方式在单元内部将这种内部的非协调自由度凝聚掉，具体如下：

之后，再对左侧的刚度矩阵进行协调自由度上的组装，求解整个方程组。至此，非协调单元的整个计算过程已经形成。

当然，在商业有限元软件中，非协调单元的实际操作并不局限于此。在Ansys中，非协调元共有两种形式：增强应变和简化增强应变。

 

 

其中，简化增强应变采用的正是上面提到的8节点三维实体单元含有9个非协调自由度的形式。而增强应变，还另外附加4个非协调自由度用于解决体积自锁问题，因此实际上选择增强应变时，实际上共有13个非协调自由度。

在Abaqus中，和Ansys类似，C3D8I单元有13个非协调自由度。

在本公众 号自研的有限元求解器Hanfem中，采用了和Abaqus一致的方式，共有13个非协调自由度。以下是计算结果的对比：

 

 

 

 

 简单模型：Cook板受剪切

 

 

 

 

 稍复杂模型

本文主要介绍了非协调单元的基本思路，具体实现方法及计算结果对比。和普通的一阶全积分单元相比，在受弯时，非协调单元能够有效地克服剪切自锁，获得较为准确的结果。当然，这种单元在计算时的单元刚度矩阵凝聚部分需要对非协调部分的刚度矩阵求逆，因此计算量会稍大于全积分单元。以上，即是本文的全部内容，感谢阅读！

【全文完】

来源：有限元术