【UMAT4】上篇-Neo-Hookean超弹本构理论

大家好，我是九千CAE。

在有限元分析领域，用户材料子程序(UMAT)的开发是进阶用户的必备技能。我们已经陆续学习掌握了【各向同性线弹性UMAT】、【线性随动硬化弹塑性UMAT】以及【各向同性硬化弹塑性UMAT】。今天我们将解析经典的超弹性材料模型——Neo-Hookean模型在Abaqus中的UMAT实现方法。本节先介绍本构模型的理论部分。
由于超弹本构模型是基于能量的模型，建议读者具备连续介质力学的基础知识。推荐参考书目《Notes on Continuum Mechanics》、《Mechanics of Solid Polymers Theory and Computational Modeling》。

内能耗散

超弹本构假设一基于参考构型（Reference configuration）的单位体积Helmholtz自由能    ，也称应变能密度（Strain energy density）应变能函数（Strain energy function）或弹性势（Elastic potential）。应变能函数是变形梯度（Deformation gradient）的函数，即    。

对于纯变形过程，内能耗散（Internal energy dissipation）    ，参考构型描述下，由Clausius-Planck不等式：

其中    为Kirchhoff应力张量，    、    为变形率张量，    ，    为旋转率张量；    为第一类Piola-Kirchhoff应力张量，    为变形梯度；    为第二类Piola-Kirchhoff应力张量，    为右Cauchy-Green变形张量，    为Green-Lagrange应变张量。

应力应变关系

由于    仅为    的函数，则应变能变化率为

由于    是客观的（坐标无关），即刚性转动不会导致    改变，有    ，其中    为任意正交张量（导致刚性旋转）。考虑变形梯度的极分解    ，由于    的任意性，取    （注意    为正交张量，正交张量的转置也为正交张量），且考虑    及    有

则

一类超弹本构是将应变能函数表示为Cauchy-Green应变张量（        ）不变量的函数

其中

且

则

代入    

可压缩性

考虑可压缩性，有简化公式

Neo-Hookean超弹模型

Neo-Hookean超弹模型中应变能函数

其中    、    。

利用    

Abaqus帮助文档参考路径：

• Analysis User's Guide （介绍典型的超弹材料，包含Neo-Hookean在内的多种本构理论） Materials ———— Elastic Mechanical Properties ———— Hyperelasticity ———— Hyperelasticity Behavior of Rubberlike materials
• Theory Guide （侧重于编程实现、有限元实现） Large-strain elasticity ———— Hyperelastic material behavior