弹性本构关系内容精要
前面由静力学导出了平衡微分方程和柯西方程，它给出了外力和应力之间的平衡关系。由运动学导出了几何方程和变形协调方程，它给出了位移与应变之间的关系以及应变分量之间的约束关系。这些方程都与材料性质无关，适用于任何连续介质的小变形过程。此外，物体内应力和应变都是外力作用所致，这二者之间的对应关系就是物理方程。
满足五条基本假设的为理想弹性体，理想弹性体的应力和应变之间的关系如何推导呢？
以金属材料的拉伸实验为例。设拉伸方向为x方向，则由实验结果可得x方向的正应变与正应力成正比例关系，比例系数就是材料的弹性模量。
伴随着x方向的伸长，另外两个相垂直的方向，即y、z方向也有相应的正应变产生，它们是由于泊松效应产生的，其大小与x方向的正应变相关。
上面的分析也适用于压缩情况，比如正应力是负值，对应的应变也是负值，对于弹性范围的金属材料，E、
对于拉伸或压缩是相同的。
由此可知，一个正应力可以产生三个正应变。对于三维空间的微元体，在三个正应力作用下，其应力和应变关系就是单向受力的物理方程的叠加，比如x方向的正应变与x方向的正应力有关以外，还要考虑y和z方向的应力产生的泊松效应。由此就得到了正应力与正应变之间的关系了，这样的关系共有三个。
剪应力和剪应变之间的关系呢？
以纯剪切情况为例。比如，xy面上一平面微元体，x方向受拉应力作用，y方向受压应力作用，拉压应力绝对值是相同的，因此与x轴夹角45度的面上，只有剪应力作用，而正应力为0。此时的莫尔圆，是圆心在原点的圆，最大的拉应力、压应力和剪应力的绝对值都是相等的。由于微元体一侧拉伸而另一侧压缩，考察坐标系旋转45°后，新的微元体面的夹角改变情况与剪应力的关系，就可以得到剪应力和剪应变之间的物理关系了。依次类推，又可以得到三个这样的方程。至此，得到了六个应力应变之间的物理方程，这六个物理方程就是弹性力学最重要的基本方程。也是各个力学显著不同的地方。
总结一下，三个平衡微分方程，六个几何方程，六个物理方程，共15个方程，方程中共有 15个未知量，未知量分别是三个位移、六个应力和六个应变。从数学上讲，问题是可解的，实际上求解偏微分方程是困难的，甚至是不可能的。如何求解这15个方程是弹性力学的一个难点，常用的方法是逆解法，即猜测答案，比如猜测一组应力解答，它首先要满足柯西方程和平衡微分方程，这组应力就是可能的应力解答了，检测它是否是真实的应力，需要它满足物理方程和应变协调方程，即，由猜测出的应力根据物理方程去求出应变，再依据几何方程求出位移，要求应变满足变形协调方程，位移满足位移边界条件，就证明了这组猜测的应力是真实的，位移也是真实的。若不满足位移边界条件，则应力是近似的解答。也就是说，猜测应力解答或位移解答，令其满足三类基本方程和边界条件，完全满足就是正确的精确解答，因为正确的弹性力学问题是有唯一解答的，若不满足就继续猜测，直到满足为止。
