工业仿真中，是否有必要引入高阶格式？

假设两种格式的离散误差，分别具有误差  和  。假设误差项系数为1。随着  ，下表给出了满足一定的误差约束的网格大小（间距）。

表1中，第一行表示允许误差，第二行和第三行分别是相应格式在允许误差的条件下，最大网格间距。当允许误差较大时，比如1e-2，四阶网格的网格间距仅仅大了1/3，考虑四阶格式本身更加复杂，计算收益并不是很明显。

计算精度要求较高时，比如误差约束为1e-6，四阶格式对应的网格大小是二阶格式对应网格大小的32倍。在三维情况下，网格量可以节约至1/30000。考虑到如此大的收益，高阶格式带来的额外的复杂性成本可以忽略不计。

高精度格式，在加密网格时，误差以更快的速度下降。也就是说，对于一定的误差要求，高精度需要更少的网格。

●数值误差和模型误差

首先要区分模型误差和数值误差，格式误差属于数值误差。大多工程模型都是工程试验数据的拟合，同时引入一定的物理机制，结合共同构成。其误差来自工程试验数据的非普适性的特点。

很多人认为，功能模型的误差已经很大，不必要再考虑高阶精度格式。从总体误差的角度看，这种说法是有道理的。也正是由于这种原因，真实场景的工程CFD仿真，一般都采用不超过二阶的低阶精度格式，比如线性迎风格式和二阶中心差分格式。  

如果没有没有模型误差，比如DNS或者LES，这个观点自然不成立。

如果仿真场景很复杂，必须引入依赖经验参数的模型，此时是否有必要引入高阶格式？在保证稳定的前提下，仍然可以引入高阶格式。网格不变，高阶精度可以提供更加精确基本流场，作为工程经验模型的输入，提高模型输出精度，进而提高总体的仿真精度。

譬如，RANS方法，有研究指出湍流模型方程（非代数模型）使用高阶格式求解，可以有效的提高湍流模型的预测精度。又比如，工程雾化过程中，高阶格式能够提供更加精确的基本流场，提高颗粒的轨迹的捕捉精度。

●工程CFD仿真中，高阶精度格式的必要性

雷诺平均方法（RANS）是单相流最常用的仿真方法；均相流模型和双流体模型（Two-fluidmodel）在工程两相流仿真中，使用较多。

· 两相流中的平均方法

关于雷诺平均模型与高阶精度结合的文献，比较少：

• 谢春晖，高超声速转捩模型在高精度数值算法中的应用，硕士学位论文，2018；

• 谢春晖，SST湍流模型在高精度算法中的应用，2018

文中指出，高阶格式的使用，能够提高湍流模型的预测精度。

· 多相流中的平均方法

关于双流体模型，高精度离散格式的相关文献较少

• WD Fullmer, J Comput Multiphase Flow, 2013

• MS Liou, in “Computational Fluid Dynamics”, 2009

●高阶精度格式本身的实现困难

（1）高阶格式更加复杂；

（2）高阶格式不足够稳定；

（3）几何复杂，高阶格式的优势难以体现；

（4）工程模型没有精度可言；

（5）历史依赖。

相对通常的一阶或者二阶格式，高阶格式更加复杂，无论在算法上，还是代码植入的角度，都对CFD开发工程师提出了更加苛刻的要求。随着行业的发展，CFD开发工程师的水平会越来越高，经验越发丰富。这不是问题，这是CFD开发工程师的责任。

相对而言，高阶格式的耗散更低。绝大多数格式的稳定性，来自于数值耗散。而基于SBP算子方法，可容易的构建出数学上满足能量稳定性的高阶格式。DG、CPR/FR等数值格式，满足SBP特性，天然拥有数学上的能量/熵稳定性。

非结构网格是已经得到广泛的应用。在此基础上，很多学者已经开始研究如何结合高阶精度几何、高阶精度网格和高阶精度数值格式。比如堪萨斯大学的Z.JWang教授课题组，利用这种组合方式对机翼进行大规模的大涡数值模拟。

工程模型如果是微分方程模型，高精度格式能够给出更高的数值精度。如果是代数模型，那么对基础的控制方程应用高阶格式，也可以提高代数模型的输入参数精度。

历史依赖，不必多说。

如果现有的解决方法没有遭遇不可克服的困难，天生保守的工程师总是不愿意尝试新方法的。这也是为什么当下的工程CFD仿真领域中，航空航天应用高阶精度格式最多的原因。

●问题的复杂性

高阶精度格式在工程中的应用，任重道远。

• 工程算法可以走在学术的前头。非线性格式就是由航空工程师提出并首先使用的。数学家当时还处于Godunov一阶障碍的思维定式里头。但这种情况是特例，不具有普遍性。

• 湍流模型，多种多样，这可能就不是一个能够一体解决的问题。每个湍流模型在与相应的高阶格式组合时，都需要做特定的适应性修改。

• 高阶格式还需要解决一系列的问题，比如高阶网格、高阶几何等。对于贴体网格，应该使用适当的高阶曲线而不是直线，刻画边界。对于IBM等非贴体浸没方法，边界或者界面处的delta源项，目前只有至多1.5阶精度。

• 高阶格式应用于多相流统计模型的求解，比如均相流模型、双流体模型等，都会面临“如何与模型结合”的难题。

• 高阶精度与湍流模型的结合在航空航空航天领域已经开始较多的应用，但一般选择SA模型做适配，与其他湍流模型的结合比较少见。

这里列出一些，将高阶格式与功能模型结合的文献，仅供参考。

• 廖飞，博士论文，2018。

· 使用高阶格式离散的湍流模型，能够在粗网格上，取得更好的逼近精度。

• A. Jameson，在2016年和2018年分别指导的两篇博士论文（JA Crabill, 2018; MR Lopez-Morales, 2016），都基于通量重构（FR）方法，结合RANS模拟湍流。

这里不是结论，只是对本文的总结。

随着计算机性能的提升，以及CFD算法，特别是高阶精度算法的持续发展，高阶格式在工程CFD仿真应用中，会越来越多。特别在航空航天领域，这是工程应用的前沿，已经得到了较广泛的应用。

尽管高阶格式已经取得了长足的发展，但其本身还做不到足够稳定、可靠、易用，且对计算资源的要求更加苛刻，若要在工程CFD仿真中真正铺开应用，尚需要时日。