1.问题的提出

有限体积方法可以在离散意义上满足局部和全局的守恒律，是CFD中最常用的数值求解方法。为何众多基于有限体积方法的软件最高只有二阶精度，鲜见3阶以上精度的有限体积方法？这是这篇文章的出发点。

有人认为，是非结构网格导致了这个困难。这个认识没有触及根本，至少是不全面的。下面我们会看到，即使是最简单的、不考虑一般曲线坐标系的平直结构网格，相比有限差分方法，要实现3阶以上精度，必须付出很多额外代价。

这里以平直结构网格上的三阶有限体积方法为例，展开说明。

2.问题背后的原因

2.1. 一维守恒方程

2.2. 二维情形

3. 小结

相较相同精度的有限差分方法，

⚫ 见表格 1，3 阶有限体积方法，对应二维和三维流动，计算量分别增加了 3 倍和 5倍。

⚫ 见表格 2，5 阶有限体积方法，对应二维和三维流动，计算量分别增加了 4 倍和 10倍。

希望这篇文章能够帮助更多同行了解这个基础问题。

4. 附录

4.1. 分辨率和精度

一般来说，离散格式的误差可以表示为 𝐸 = 𝐶Δ𝑥𝑝，𝐸 整体表示格式的分辨率，而 𝑝 表示格式的精度。分辨率是描述算法的状态，而精度则是描述随着网格加密，算法的误差的变化过程。

4.2. 折中

如果仅在一个方向进行高阶重构，计算代价与有限差分方法相当。尽管格式仍然是二阶精度，但能够提高格式的整体分辨率。在气动计算领域，这种做法很常见。

这种格式，与传统的二阶 Harten TVD 格式比较，尽管精度相当，却具备更高的分辨率。相同网格下，这种高分辨率格式能够更准确的捕捉流场的精细结构。

4.3. 延申

⚫ 对于线性守恒方程，上述问题不存在。比如声场计算，一般基于线化的欧拉方程，又比如 Maxwell 方程等。

⚫ 对于非结构网格上的有限体积方法，额外的重构过程，依然无法避免。模板选择是另外一个棘手的问题。

4.4. 二阶精度有限体积格式

平均值与点值之间，误差是二阶的。如果要求二阶精度，二者可以混同使用。