有限元方法的80年：诞生、演化与未来

今天木木给大家分享的是一篇由Northwestern University的Wing Kam Liu、UC Berkeley的Shaofan Li和Boston University的Harold S. Park于2021年联合发表的《Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future》，带着大家回顾有限元方法自1941年初露端倪至今的80余年发展历程。

 

木木看完之后，感触颇深，深感国内有限元发展的处境，相比于欧美来说，差距是真的大！想要突破卡脖子技术，绝对不能停留于“虚张声势”，应潜下心钻研核心技术难题，不应人云亦云。

希望大家带着听故事的心情浏览本期分享的FEM发展史~

有限元早期(1941-1965)

1. In 1941, A. Hrennikoff，在数学问题上首次将求解域离散为晶格结构，成为有限元思想的开端；

 

1. On May 3rd, 1941,R. Courant ，用变分方法求解二阶偏微分方程，使用了Rayleigh Ritz方法，并在有限三角形子域上定义了一个试函数，这是有限元方法的一种原始形式；

 

1. In 1952 ,Ray Clough,使用杆单元组合替代平面应力问题，应用于三角机翼应力分析，标志着FEM正式诞生，成立加州分校伯克利研究小组，将有限元应用于一系列的分析和实验活动中，从设计建筑和结构以抵御核爆炸或地震，到分析航天器和深海钻井的结构要求；（可以看到外国对于科学应用的重视，而不是像国内，未完成一些列的科研任务而去造一些“轮子”，任务完成后，程序的研发也随之滞留，未能付诸大量实践）

 

1. In 1956,Turner, Clough, Martin, and Topp开发了三角形单元的有限元插值方法，该方法适用于任意形状的结构件。在某种意义上，三角形单元的发明是一次“quantum leap”，因此，对于工程领域的大范围来说，FEM的开始于此；
2. In 1957年，R. Clough就在加州大学伯克利分校开设了第一个研究生阶段的有限元课程；

 

1. 50年代初，该方法被称作为Matrix Stiffness Method（矩阵刚度法），1960年，Ray Clough正式命名为有限元；
2. In 1960，中科院冯康，发表一篇名为《基于变分原理的差分格式》，应用于有限元法的收敛性研究；

 

1. In 1958, E.L. Wilson of UC Berkeley,开发了第一个基于波音公司开发的矩形平面应力有限元的自动化有限元程序；
2. In 1963,Best and Oden编写了当时最早的通用有限元计算机代码之一，包括三维弹性单元、二维平面弹性单元、三维梁和杆单元、复合材料层状板和壳单元以及通用复合材料单元，能够处理特征值模态分析，以及在三角形和四面体单元上的数值积分；

 

FEM黄金时期(1966-1991)

1. In 1967,TJR Hughes 呼吁成立有限元程序设计小组，于1969年，编制了57000行GENSAM程序;
2. 20世纪70年代，聚焦于有限元的收敛性问题，人们的注意力转向了基于混合变分原理的有限元方法；
3. 20世纪70年代，FEM的发展开始专注于模拟结构的动态行为，包括汽车工业中的耐撞性，各种时间积分方法已经发展，包括Newmark-beta方法，Wilson-theta方法，Hilbert-Hughes-Taylor算法，Houbolt积分算法和显式时间积分算法；
4. 20世纪70年代末，T. Belytschko、K. C. Park和后来的TJR Hughes提出采用显式或隐式、显式-多重显式时间积分以及带阻尼控制的隐式时间积分来解决非线性结构变形和结构动力学问题。结果表明，显式时间积分技术使有限元技术成为乘用车设计和耐撞性分析的主要工具。到20世纪80年代末，在美国的三大汽车制造商中有数千个工作站运行显式的基于时间集成的FEM代码。（不得不感叹工业应用能力）；
5. 20世纪80年代，主要的有限元研究课题之一是利用有限元技术求解Navier-Stokes方程；
6. 20世纪80年代，Simo和Taylor开发了计算塑性的一致切线算子，发展了几何精确的梁和壳理论及其有限元公式，为混合变分公式开发了各种假设应变或增强应变方法；
7. ALE有限元法的发明可以归功于Hirt, Amsden和Cook，C. Farhat是第一个使用大规模并行ALE-FEM求解器计算流固耦合问题的人，他和他的团队系统地将基于有限元的计算流体力学(CFD)求解器应用于飞机结构设计和分析，他们开发了有限元撕裂和互连(FETI)方法，用于大规模方程系统在大规模并行处理器上的可扩展求解；
8. 有限元流固耦合研究对许多实际应用产生了重大影响，例如为血管疾病的患者特异性建模提供了基础，Holzapfel、Eberlein、Wriggers和Weizsäcker开发了用于软生物膜的大应变有限元公式；
9. 20世纪80年代末，由W. K. Liu和T. Belytschko通过考虑载荷条件、材料行为、几何构型和支承或边界条件的不确定性，提出了随机场有限元法，已成为民用和航空航天工程及不确定性量化领域的重要研究课题；
10. 20世纪80年代早期，通用汽车研究实验室的M.E. Botkin和密歇根大学的N. Kikuchi和他的团队为汽车工业开发了结构形状优化有限元方法，开发了一种均质化方法来寻找在规定载荷下结构的最佳形状以及后来的拓扑优化；
11. 20世纪80年代中期，计算应变软化中的网格敏感性问题成为一个具有挑战性的课题，Pijaudier-Cabot和Bazant发展了一种有效的非局部有限元方法，其中非局部性仅应用于损伤应变；
12. In 1976，Hughes、Taylor、Sackman、Curnier和Kanoknukulchai发表了一篇题为“一类接触-冲击问题的有限元方法”的论文，这是计算接触力学中最早的有限元分析之一，例子包括钣金成形，目标冲击和渗透，路面和轮胎之间的相互作用；

 

 

FEM工业时期(1992-2017)

1. 20世纪90年代，Zienkiewicz-Zhu后验误差估计器通过自适应地细化网格，以优化计算资源的方式提供有限元解决方案的质量控制，Ainsworth和Oden用后验误差估计来提高质量已经被提升到贝叶斯推理和贝叶斯更新的高度；

 

1. 20世纪90年代，研究工作集中在基于变分原理的离散化方法来解决断裂力学问题或应变局部化问题。1981年，S.T. Pietruszczak和Z. Mroz就提出了第一个土体剪切破裂的粘性有限元，后来，西北大学Bazant的团队开发了各种界面有限元方法，如微平面模型，以研究混凝土材料和其他复合材料的尺寸效应；1994年，Xu和Needleman开发了cohesive zone model (CZM)，该模型可以模拟裂纹扩展而不需要重网格；
2. T. Belytschko和WK发展了无网格伽辽金(EFG)方法和再现核粒子方法(RKPM)；
3. 继而I. Babuska开发了统一单元划分法(PUFEM)，后来于1996年发展了广义有限元法(GFEM)；
4. In 1999，Ted Belytschko、T. Black、N. Moes和J. Dolbow，开发了扩展有限元(X-FEM)，该方法利用各种丰富的不连续形状函数，在不重网格的情况下准确地捕捉裂纹体的形态。

 

1. In 2000，A. Karma提出了相场有限元法来解决裂纹扩展和裂纹扩展问题，可以准确预测材料脆性断裂损伤；
2. In 1997，TY Hou提出了多尺度均质化有限元方法，该方法主要适用于微结构随机的复合材料；
3. In 1982，D. Piece、RJ Asaro和Needleman首次提出晶体塑性有限元方法(CPFEM)，可以计算位错、晶体取向等织构信息，在计算过程中考虑晶体的各向异性，现已应用于模拟晶体的塑性变形、表面粗糙度、断裂等；
4. In 2013，由L. Beirão da Veiga和F. Brezzi领导的一组意大利科学家和工程师提出了一种所谓的虚拟单元方法(virtual element method, VEM)，当网格发生畸变时，VEM在数值计算中显示了鲁棒性和准确性；
5. In 1963，E.L. Wilson和R. Clough开发了一个结构力学有限元代码，称为符号矩阵解释系统(Symbolic Matrix Interpretive System, SMIS)，然后Wilson发起并开发了一个通用的静态和动态结构分析程序SAP。基于SAP IV和NONSAP开发了非线性有限元程序ADINA。
6. 与此同时，NASA也开发了自己的名为NASTRAN的FEM代码；
7. 约在20世纪60年代末的同一时间，J. Swanson要求他的雇主Westinghouse开发FEM计算机代码，他的建议被拒绝，然后他离开了公司，并开发了最初的ANSYS FEM代码；
8. 几年后，J.O. Hallquist也开发了一种称为DYNA3D的三维非线性有限元代码，后来发展为LS-DYNA；
9. 到20世纪90年代末和21世纪初，FEM软件行业已经成为一个数十亿美元的业务。有ANSYS、ABAQUS、ADINA、LS-DYNA、NASTRAN、COMSOL Multiphysics、CSI等知名有限元软件公司；

FEM新时代(2018- present)

这一块实属知识盲区，就随便摘抄了点，详细请看原文献。

1. 基于机器学习的有限元方法和降阶模型的发展成为有限元研究的新焦点；
2. In 1993，J. Takeuchi和Y. Kosugi提出了一种求解泊松方程问题的有限元方法的神经网络表示；
3. In 1995，G. Yagawa and O. Aoki用互连神经网络(nn)的网络能量代替了有限元函数，解决了一个热传导问题；
4. In 2019，F. Ghavamiana和A . Simone使用深度神经网络作为回归模型来学习材料行为或微观结构响应；
5. In 2020，Zhang等人发表了第一篇关于基于DNN的层次性质构建常规有限元形状函数的论文，称为分层深度学习神经网络；