打水漂背后的科学与力学：CoSim-FVDEM 看见的流体与石片相互作用

1. 背景  

一片薄石掠过水面，跃起的弧线、接连散开的涟漪与短暂飞溅的水花，让打水漂既是一项亲近自然的游戏，也呈现出运动的节奏与美感。人们凭经验选择石片、调整出手角度和旋转，而这些看似随意的动作，背后都对应着可以观察、测量和解释的力学规律。  

打水漂是一个集自然、艺术、科学于一体的现象。其科学趣味，在于一个简单动作同时牵动了自由液面、瞬时冲击和旋转物体的姿态变化。2004 年，Clanet 等在《Nature》 发表研究，通过旋转圆盘撞击水面的实验，发现其研究条件下约 20° 的盘面倾角有利于反弹。[2]从日常经验到可检验的规律，这个问题也为理解物体入水、水上航行器与水面的相互作用提供了切入口；对弹性球的研究进一步表明，材料变形也会改变水面跳跃方式。[3]  

CoSim-FVDEM 是集三维可压缩、不可压缩多相流体力学及任意颗粒/块体形态的离散元的强流-固耦合计算分析软件。本文将采用 CoSim-FVDEM 方法建立三维打水漂算例，模拟石片运动与周围流场，将直观的入水、反弹现象与位移、速度等计算结果联系起来。  

石片斜向接触水面时，会推动周围水体运动，受到向上的流体作用力。若接触期间的向上冲量足以改变其下落速度，就可能出现反弹；初始速度、盘面倾角和自旋都会影响这一过程。自旋有助于维持姿态，但反弹并不意味着运动能量增加。[1]  

本例将石片简化为铝密度的扁圆盘，初始盘面倾角取 20°。这里的倾角指盘面与水平水面的夹角；由初始速度 (10, 0, −1) m/s 可得，运动方向向下偏离水平约5.7°，二者不能混同。20° 是参考实验研究选取的设置，不代表所有形状和工况下都存在相同的最优角度。  

2. 算例设置  

圆盘由一个 30 边凸棱柱表示，计算中给定初始平动与自旋，随后运动由流固作用和重力共同决定。  

图 1. 计算域与石片初始姿态示意  

取 x 为投掷方向、z 为竖直向上方向。初始水面位于z = 0.14 m，圆盘最低点高于静水面 3 mm。主要参数如下。  

3. 结果分析  

在 0～0.30 s 的计算时间内，圆盘经历了首次入水、向上反弹和再次入水。为区分“速度转向”与“完整离水”，同时提取了竖向速度，以及圆盘最低点相对初始静水面的高度。  

图 2. 圆盘最低点高度与竖向速度，曲线取自原生计算输出  

约在 0.0222 s，竖向速度首次由负转正。随后圆盘向上运动，最大向上速度约为 0.658 m/s。在保存的场结果中，0.045 s 起最低点高于初始静水面，最高约为 14.8 mm；到 0.156 s 的输出时刻，最低点已再次低于该水位。结合侧向动画，可以辨认一次明显的离水反弹。  

约在 0.2622 s，竖向速度再次由负转正，本次时间窗口内没有出现第二段完整高于初始静水面的过程。上述高度以初始静水面为基准，局部实际水面仍在变化，精确接触时刻需结合界面形状判断。  

动力学机制  

石片斜向切入水面时，浸水区域推动并加速周围水体，形成以惯性压力为主的作用。其向上分量先减缓下落；当扣除重力后的向上冲量足够大时，竖向速度才会由负转正。与此同时，水动力的水平分量使石片减速，部分机械能传递给水体的运动、波浪和飞溅，并通过黏性作用耗散。  

水动力的作用位置通常偏离圆盘质心，会产生改变倾角的力矩。沿盘面法向的自旋提供角动量，使石片具有陀螺稳定性，有助于在入水冲击中保持较有利的姿态。石片离开水体后，仍受到重力，以及空气产生的阻力、升力和力矩；这些作用会影响飞行距离和下一次入水的姿态。[4]  

空气压力与流速  

空气压力动画显示，石片附近存在明显的高、低压区。首次接近水面时，前缘及下侧局部压力较高，上侧和后方出现低压区；随着石片反弹和再次入水，这些区域的位置与强弱随之变化，说明石片上下侧的压力差并非始终保持不变。  

空气流速与速度矢量进一步展示了这种不对称性。较快的空气运动集中在石片附近，离水阶段上侧较为明显。以 0.090 s 为例，上、下侧邻近空气的压力中位数分别约为 −19.7 Pa 和 −3.7 Pa，流速中位数分别约为 5.3 m/s 和 1.8 m/s。图 3 中箭头在不同位置的偏转，还反映出石片周围流动方向的变化。  

图 3. 0.090 s 时石片周围的速度矢量
颜色表示速度大小，箭头表示流动方向，速度单位为 m/s  

这些现象表明，石片运动和水面变形伴随着周围空气的局部扰动。上下侧不对称的压力分布可能影响石片离水后的运动和姿态，其变化与离水、飞行和再次入水的过程相互关联。这里观察到的是邻近空气的流动特征，尚不能直接据此确定空气对反弹的贡献大小。  

参考文献  

[1] Bocquet L. The physics of stone skipping. American Journal of Physics, 2003, 71: 150–155. https://doi.org/10.1119/1.1519232  

[2] Clanet C, Hersen F, Bocquet L. Secrets of successful stone-skipping. Nature, 2004, 427: 29. https://doi.org/10.1038/427029a  

[3] Belden J, Hurd R C, Jandron M A, et al. Elastic spheres can walk on water. Nature Communications, 2016, 7: 10551. https://doi.org/10.1038/ncomms10551  

[4] Tsai H W, Tsai H C, Wu W F, Lai C L. Experimental results and mathematical formulation of non-spinning stone-skipping process. Scientific Reports, 2022, 12: 16372. https://doi.org/10.1038/s41598-022-19992-x