二维 VEM 的近似空间
本节主要内容
定义二维多边形上的局部虚单元空间； 建立完整多项式基以及边界上的 Lagrange 插值； 解释顶点自由度和边内部节点自由度； 定义从虚单元位移场 到多项式位移场 的投影； 说明梯度投影为什么不能确定常数平移； 解释单元内部矩及自由度数量。
计算区域 被划分为互不重叠的多边形单元 。每个单元的边界 由直边组成，单元可以是非凸多边形。
下图中， 和 分别表示单元的边数和顶点数；第 条边记为 ，长度为 ，单位外法向量为 ，其中 。顶点用 编号， ；图的右侧放大了连接顶点 与 的一条边。
是边上的无量纲局部坐标，沿顶点 指向顶点 的方向增大；在后文的边界插值中，两个端点分别对应 和 。
局部虚单元空间与自由度
局部虚单元空间规定了单元内允许采用哪些位移函数。本节内容分别说明顶点位移、边界多项式插值、边界连续性和内部拉普拉斯条件，再据此确定自由度的配置与数量。
局部虚单元空间
二维多边形单元 上的局部虚单元空间定义为
这里， 表示单元 的整个边界， 表示其中第 条单元边。式中的三个条件分别表示：
： 是单元 上的一阶 Sobolev 空间，即函数本身及其一阶弱导数都平方可积的函数集 合，上标 表示要求到一阶导数； 则表示由两个属于该空间的分量组成二维位移场，分别对应 、 方向的位移。 ：在每条单元边上，两个位移分量分别属于该边上的多项式空间 。
多项式空间
表示总次数不超过 的完整多项式空间。“完整”表示包含这一范围内的全部单项式及其线性组合；在二维情况下，单项式 的总次数为 ，要求 。单元内的前三阶空间为
表示将括号内的单项式分别乘以任意实数系数后相加，得到所有这样的多项式。这里列出的是单元内部的二维空间 。
：在单元内部，对每个位移分量分别计算其对 、 的二阶导数之和，所得结果次数是不超过 的多项式。
设 的两个位移分量为 和 ，则
位移场的性质与自由度
(a0) 顶点位移
每个顶点 保存二维位移
个顶点一共贡献 个标量自由度。
(a1) 边界多项式插值
在每条边 上， 的每个分量都是 次多项式。除两个端点外，每条边还需要 个内部节点，因此边内部节点贡献
个标量自由度。
(a2) 边界连续性
在单元的整个边界 上连续，相邻边在公共顶点处取相同的位移值。相邻单元在公共边上共享同一组节点值和同一插值多项式，由此保证全局位移场的 连续性。
完整多项式基与边界插值
完整多项式基
二维 次完整多项式基写为
长度为
为改善矩阵条件数，可以使用缩放坐标
其中 是单元重心， 是单元特征长度。
边界插值
在单元边界 上，虚单元位移场的边界值由一维 Lagrange 多项式显式给出：
这里 是边上的无量纲局部坐标。
当 时，
二次插值函数
当 时，
对应节点坐标为
多项式梯度投影
投影映射
VEM 不直接计算虚单元位移场 在单元内部任意位置的位移，而是构造到完整多项式空间的投影：
这里， 是投影算子。第一行说明它把单元 上的局部虚单元空间 映射到完整向量多项式空间 ；第二行说明一个具体 位移场的输入与输出：
输入： ，属于局部虚单元空间，其单元内部的显式表达式通常未知。 输出： ，两个位移分量都是次数不超过 的多项式，可以显式求值、求导和积分。
目标空间 中的上标 表示两个位移分量。
梯度正交条件
投影误差在梯度内积意义下与目标多项式空间正交：
是 在多项式梯度空间中的正交投影。
关于正交投影的概念可能比较抽象，这里我以向量投影正交为例，帮助理解正交投影的概念：
当位移梯度按二阶张量理解时，式中的点积是 Frobenius 内积：
投影位移及其梯度的表示
投影位移 是多项式，因此可以用已知的多项式基 和待求系数 表示：
上式表示：将多项式基中的各项乘以相应系数后相加，得到两个方向的投影位移。因此，求投影位移就是确定这些多项式系数。
对上式求梯度：
对投影位移求梯度时，常数项的导数为零，因此上式中只保留非常数项的系数，记为 。梯度投影条件只能确定这些系数，无法确定常数位移参数，所以还需要其他的方法，才能得到完整的投影位移 。
附加约束
对任意常向量 ，
因此，如果 满足梯度投影条件，那么 也满足同一条件。梯度正交关系只能确定非恒定多项式系数，不能确定二维刚体平移的两个常数参数。
补充条件：
规定 与 具有相同平均位移，从而确定常数参数。
如果采用边界平均，积分区域应为 ，测度为 如果采用面积平均，积分区域应为 ，测度为
内部矩与阶次
内部矩
顶点和边上节点位移记录某个位置的位移；高阶 VEM 还以“内部矩”作为自由度，记录单元内部的积分信息，用于计算多项式投影所需的内部积分，无须求出内部位移的显式公式。
二维 VEM 的内部矩定义为
其中， 为非负整数， 为单元面积；每个内部矩包含两个位移分量的积分信息。
二次情形
当 时， ，只有 ，因此
是单元平均位移，贡献两个标量自由度。
三次情形
当 时， ，对应 、 、 。除上述 外，还需要
所以三次二维 VEM 共有三个向量矩，即六个标量内部自由度。
自由度数量
每个位移分量所需的内部矩数量等于二维完整多项式空间 的维数：
两个位移分量需要 个标量内部矩。对于封闭多边形 ，总自由度数为
参考文献
Wriggers, Peter, Fadi Aldakheel, and Blaž Hudobivnik. Virtual element methods in engineering sciences. Berlin: Springer, 2024.
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