2-43 倒立摆存在未知非线性时，RBF 网络怎样在线逼近并完成摆角跟踪？

一句话介绍： 这套 MATLAB / Simulink 程序把一级倒立摆写成“已知控制增益 + 待逼近非线性项”的二阶系统，利用 5 节点 RBF 网络在线估计未知非线性函数，再把估计补偿、期望加速度和 PD 型误差反馈组合成控制输入，使初始存在摆角偏差的倒立摆跟踪 0.1sin(t) 参考轨迹，同时输出真实非线性项与 RBF 估计值用于对比。

先看它解决什么问题

一级倒立摆的困难并不只是“摆杆会倒”。

从当前源码看，模型的角加速度同时受三类因素影响：

重力产生的非线性项；

摆角、角速度共同形成的耦合项；

控制输入通过随摆角变化的输入增益进入系统。

如果控制器完全依赖精确的非线性模型，一旦其中某一部分未知或者建模不准，固定模型补偿就会出现偏差。

当前程序采用的思路是：

参考摆角 → 计算跟踪误差 → RBF 网络估计未知非线性项 → 自适应更新网络权值 → 误差反馈与非线性补偿合成控制量 → 倒立摆响应 → 继续闭环修正

围绕直立位置的小幅正弦摆角自适应跟踪，而不是单纯把摆杆稳定在零角度。

1. 当前工程实际上由哪些文件组成？

压缩包中的工程很精简，没有外部数据集、训练样本或预训练模型，核心就是一个 Simulink 闭环模型和两个 M 文件 S-Function。

模型默认采用 ode45 连续求解器，仿真时间为：0～30 s

相对误差容限设置为：1e-5

所以这不是先离线训练一个 RBF 网络再加载权值，而是：

仿真开始时网络权值全部为 0，随着闭环运行实时更新。

2. 当前倒立摆从什么状态开始，又要跟踪什么？

chap1_1plant.m 中只有两个连续状态：

x = [θ, ω]ᵀ

其中：

θ：摆角；

ω：摆角速度。

初始状态为：θ(0) = π/60 rad、ω(0) = 0

也就是摆杆初始偏离直立位置约：3°

而参考轨迹来自 Simulink 的 Sine Wave 模块：

y_d = 0.1sin(t)

对应参考角速度和参考角加速度分别为：

ẏ_d = 0.1cos(t)

ÿ_d = -0.1sin(t)

因此参考摆角幅值为：0.1 rad，约 5.73°

程序的任务不是把初始 3° 偏差直接压到一个固定零点，而是让实际摆角逐渐进入这条周期参考轨迹。

3. 一级倒立摆的非线性模型是怎样写进程序的？

当前对象使用的是一个二阶摆角动力学模型。

最核心的状态关系为：

θ̇ = ω

ω̇ = f(θ,ω) + G(θ)u

这里 u 是控制输入。

源码先定义一个中间量：

S(θ) = l[4/3 - m cos²(θ)/(m_c+m)]

然后计算非线性项：

f(θ,ω) = [g sin(θ) - m·l·ω²cos(θ)sin(θ)/(m_c+m)] / S(θ)

控制输入增益为：

G(θ) = [cos(θ)/(m_c+m)] / S(θ)

当前固定物理参数为：

这里最关键的是：

f(θ,ω)在被控对象里虽然有明确公式，但控制器并不直接读取这个真实值，而是让 RBF 网络在线逼近它。

因此这是一个典型的“仿真对象知道真实模型、控制器假定其中一部分未知”的自适应控制实验。

4. 控制器首先拿到的并不是摆角，而是跟踪误差

Simulink 中参考轨迹和实际摆角先经过求和模块。

当前误差定义为：e = y_d - θ

误差经过 Derivative 模块后形成误差变化率。连续模型下可以理解为：

ė = ẏ_d - ω

随后两者被送进控制器：E = [e, ė]ᵀ

控制器又根据硬编码的参考轨迹反推出：

x₁ = y_d - e

x₂ = ẏ_d - ė

理论上这两项分别对应：

x₁ = θ

x₂ = ω

不过需要注意，当前源码虽然计算了 x₁ 和 x₂，后续并没有完整使用它们，这一点会在后面的源码边界中单独说明。

5. 为什么这里不是只使用一个固定 PD 控制器？

当前程序确实使用了比例和微分反馈：k_p = 30、k_d = 50

如果只看误差反馈部分，可以理解成：k_p·e + k_d·ė

这种反馈能够根据位置误差和速度误差不断修正控制量。

但倒立摆中还存在 f(θ,ω) 这样的非线性项。

如果它完全未知，单纯依靠固定 PD 参数只能通过误差间接抵消它，而不能主动估计并补偿这部分动态。

所以当前程序在 PD 反馈之外又增加了一条：

未知非线性在线估计链

即：e、ė → RBF 网络 → f̂ → 非线性补偿

最终形成：

RBF 自适应补偿 + 期望加速度前馈 + PD 误差反馈

这才是当前控制器与普通固定 PD 的主要区别。

6. 5 个 RBF 节点具体怎样逼近未知函数？

RBF 网络的输入不是直接使用摆角和角速度，而是：

ξ = [e, ė]ᵀ

程序设置了 5 个二维高斯基函数中心：

c₁ = (-2,-2)、c₂ = (-1,-1)、c₃ = (0,0)、c₄ = (1,1)、c₅ = (2,2)

因此这里是：5 个二维节点

而不是 5×5=25 个网格节点。

所有节点共用宽度：b = 0.20

第 j 个节点输出为：

hⱼ = exp[-||ξ-cⱼ||²/(2b²)]

5 个网络权值记为：

W = [w₁,w₂,w₃,w₄,w₅]ᵀ

于是 RBF 网络给出的非线性估计为：f̂ = Wᵀh

仿真开始时：W(0) = [0,0,0,0,0]ᵀ

所以初始时刻网络没有预先学到任何非线性规律。

它必须依靠后面的自适应律，在控制过程中逐渐调整权值。

7. RBF 权值为什么能够在运行过程中自己变化？

5 个网络权值本身就是 chap1_1ctrl.m 中的 5 个连续状态。

程序定义：Φ = [[0,1],[-k_p,-k_d]]

并令：A = Φᵀ

同时使用：Q = 500I₂

然后通过 MATLAB 的 lyap 求取矩阵 P，满足：

AP + PAᵀ + Q = 0

再定义：B = [0,1]ᵀ

当前自适应增益为：γ = 1200

最终权值更新关系可以直接概括为：Ẇ = -γ(EᵀPB)h

这里不需要把它展开成完整的自适应控制理论推导。

对当前程序来说，最重要的直觉是：

跟踪误差越能在当前 RBF 节点上形成有效激励，对应节点的权值就越会被更新；当误差逐渐减小时，网络权值也逐渐趋于稳定。

所以 RBF 网络并不是独立于控制器训练，而是：

误差产生学习信号 → 网络权值变化 → 非线性估计变化 → 控制输入变化 → 新误差再次驱动学习

构成一个连续闭环。

8. 最终控制输入是怎样合成出来的？

当前程序先得到 RBF 输出：f̂ = Wᵀh

然后把参考角加速度、误差反馈和非线性补偿组合起来。

控制关系为：

u = [-f̂ + ÿ_d + KᵀE] / G_c

其中：K = [30,50]ᵀ

所以三个主要部分分别是：

-f̂：抵消 RBF 网络估计出来的未知非线性；

ÿ_d：给出参考轨迹本身需要的加速度；

KᵀE：利用位置和速度误差继续闭环校正。

理想情况下，如果 f̂ 足够接近真实 f，控制器面对的剩余动态就更接近人为设定的误差系统。

简单理解就是：

RBF 网络负责“学出不知道的那部分”，PD 型反馈负责“把没跟上的误差拉回来”。

9. Simulink 里完整的闭环到底是怎样连起来的？

主模型中的实际信号链很清楚。

参考轨迹首先进入求和模块，与倒立摆反馈角度形成误差；误差及其导数再送入 chap1_1ctrl，控制器输出 u 驱动 chap1_1plant，对象输出的新摆角继续反馈。

完整闭环可以写成：

0.1sin(t)→ 跟踪误差e→ 误差导数ė→ RBF 自适应控制器 → 控制输入u→ 非线性倒立摆 →θ、ω→ 反馈到误差端

模型同时把几组关键量保存到 MATLAB 工作区。

y 中保存：[y_d, θ, ω]、u 中保存：

控制输入fx 中保存：[真实 f, RBF 估计 f̂]

t 中保存：仿真时间

所以 chap1_1plot.m 后续实际上在检查三件事：

实际摆角能否跟上参考摆角；

实际角速度能否跟上参考角速度；

RBF 网络的 f̂ 能否逐渐接近对象中的真实 f。

10. 按当前源码等价复算，跟踪过程是什么水平？

当前压缩包没有附带 .mat 结果文件或原作者运行截图，因此不能把某张历史曲线当成已经保存的项目结果。

不过当前对象和控制器都是连续状态方程，可以按源码原样进行等价复算。将 Simulink Derivative 模块按连续关系 ė=ẏ_d-ω 处理，并保持当前全部模型参数不变，0～30 s 仿真得到的代表性数值约为：

其中最大位置误差出现在初始时刻，因为：y_d(0)=0

而：θ(0)=π/60≈0.05236 rad

进入后期以后，实际摆角已经能够非常接近参考正弦轨迹。

需要注意，源码没有对控制输入 u 明确标注物理单位，所以这里保留其程序数值，不自行补写单位。

同样，这些数字属于：

按当前源码状态方程得到的等价复算结果，而不是压缩包中读取到的原作者固定结果文件。

11. 5 个 RBF 节点在当前工况下真的都会发挥作用吗？

当前参考摆角只有 0.1 rad 的幅值，实际误差主要活动在零附近，而 RBF 中心却放在：

(-2,-2) → (-1,-1) → (0,0) → (1,1) → (2,2)

同时宽度只有：b=0.20

这意味着当 e 和 ė 都比较小时，位于 (0,0) 的第 3 个节点响应最明显，距离 ±1、±2 的节点响应会快速衰减。

按当前源码等价复算，30 s 结束附近主要变化的也是第 3 个权值，其数值约为：w₃ ≈ -1.57

其余远离原点的几个权值仍然非常接近 0。

因此虽然结构上是一个 5 节点 RBF 网络，但在当前小幅跟踪工况下，它更接近：

由原点附近的中心节点承担主要逼近任务。

如果把参考轨迹幅值、初始偏差或运行工况扩大，当前中心位置与 b=0.20 是否还能覆盖新的误差区域，就需要重新验证。

12. 当前源码有哪些必须公开的实现边界？

这套程序的自适应控制链是完整的，但源码中有几处非常值得注意。

第一处：控制增益使用了 RBF 权值状态 x(1)

在 chap1_1ctrl.m 的输出函数中，程序先计算：x1 = y_d - e

理论上这正好可以还原当前摆角。

但后面计算控制增益时实际使用的是：cos(x(1))

这里的 x 并不是倒立摆状态，而是控制器内部的 5 个 RBF 权值状态。

也就是说，当前源码实际用：第 1 个 RBF 权值

进入了本应与摆角相关的输入增益计算。

而刚刚计算出的 x1 并没有用在这里。

如果原始设计意图是根据当前摆角计算 G(θ)，那么这里需要重点核对是否原本应使用 x1。

本文按照压缩包中的现有源码理解和复算，不擅自把这一处改掉。

第二处：这是理想仿真模型，不是完整小车倒立摆工程模型

当前对象只有：摆角 + 摆角速度两个状态。

源码中虽然包含小车质量 m_c，但没有把小车位移、速度、轨道边界、执行器饱和、传感器噪声等作为状态或约束加入模型。

误差导数也直接使用 Simulink Derivative 模块。

因此它适合研究：

RBF 自适应非线性补偿和摆角跟踪机制

但不能直接等同于包含真实执行器、噪声和小车位移约束的完整倒立摆实验平台。

13. 当前程序里哪些参数最值得修改？

真正值得实验的不是所有常数，而是那些会直接改变闭环动态或 RBF 学习行为的参数。

在当前小幅工况下，最需要留意的是 RBF 中心与宽度的组合。

因为中心相距 1，而 b 只有 0.20，实际误差又集中在零附近，所以网络有效激活范围明显偏向中心节点。

14. 怎么运行这套程序？

主模型为：chap1_1sim.mdl

打开模型后即可按照当前配置进行 30 s 连续仿真。

当前工程至少依赖：

MATLAB；Simulink；

即可按照工程自带绘图逻辑检查：

参考摆角与实际摆角 → 参考角速度与实际角速度 → 控制输入 → 真实非线性项与 RBF 估计值

如果要修改目标正弦轨迹，不要只改模型中的 Sine Wave，还必须同步修改 chap1_1ctrl.m 中的参考位置、速度和加速度表达式。

15. 一句话看懂这个项目

这是一个 MATLAB / Simulink 一级倒立摆 RBF 网络自适应控制程序：对象以摆角和角速度构成二阶非线性模型，默认从 3° 初始摆角出发跟踪幅值 0.1 rad 的正弦参考；控制器以位置误差和误差变化率作为 5 节点 RBF 网络输入，用在线更新的权值逼近对象中的未知非线性项，再把 RBF 补偿、参考加速度和k_p=30、k_d=50的误差反馈合成为控制量。按当前源码等价复算，25～30 s 位置误差 RMS 约为 1.03×10⁻⁴ rad，同时也能观察到真实f与估计f̂的逐渐接近。需要特别注意，当前控制器计算输入增益时使用了 RBF 权值状态x(1)而不是已经恢复出的摆角x1，参考轨迹也同时存在于 Simulink 和控制器硬编码中，因此这套程序更适合作为 RBF 自适应非线性控制原理与仿真实验工程来理解和扩展。