2-32递推最小二乘 RLS 参数辨识

一句话介绍： 这套程序先用 M 序列激励一个已知的二阶离散系统，再人为加入随机噪声，随后只根据逐步到来的输入、输出和噪声历史量，使用递推最小二乘法在线估计 6 个模型参数，并观察估计值是否逐渐收敛到真实参数。

先看它解决什么问题

很多动态系统都可以写成：

当前输出 = 过去输出的影响 + 过去输入的影响 + 噪声影响

实际工程里，系统结构可能知道，但参数往往不知道。

例如已经确定系统大致满足二阶差分模型，却不知道：

前一时刻输出到底占多大权重；前两时刻输出的影响是多少；输入对输出的增益是多少；噪声动态怎样进入系统。

这套程序做的就是：

设计激励信号 → 让模型产生输出 → 逐点读取数据 → 递推更新参数 → 得到最终参数估计

它展示的是一个很典型的：在线系统参数辨识过程。

1. 当前程序辨识的模型是什么？

源码开头直接给出了真实系统：

y(k) - 1.6y(k-1) + 0.7y(k-2) = u(k-1) + 0.5u(k-2) + λ[v(k) - v(k-1) + 0.2v(k-2)]

整理成当前输出形式：

y(k) = 1.6y(k-1) - 0.7y(k-2) + u(k-1) + 0.5u(k-2) + λv(k) - λv(k-1) + 0.2λv(k-2)

其中：

y(k)：系统输出；

u(k)：外部输入；

v(k)：均值为 0 的高斯随机噪声；

λ：控制噪声强度。

程序最终希望辨识出的 6 个参数为：a₁ = -1.6\a₂ = 0.7\b₁ = 1\b₂ = 0.5\c₁ = -1\c₂ = 0.2

2. 为什么程序先生成一个 M 序列？

辨识系统参数之前，必须让系统“动起来”。

如果输入始终不变，很多参数无法从有限数据中区分出来。

程序使用四级移位寄存器生成周期：L = 15的 M 序列。

一个周期为：0、1、1、1、1、0、0、0、1、0、0、1、1、0、1

然后不断重复扩展，作为系统输入：u(k)

当前辨识使用：500 个采样点

所以程序实际上用一个持续变化的二值伪随机输入不断激励系统。

M 序列的价值可以简单理解为：

它变化丰富、周期明确，能够让系统在不同状态下产生足够的信息，从而帮助算法区分各个参数。

3. 程序怎样构造随机噪声？

程序使用：v(k) ~ N(0,1)生成 500 点高斯白噪声。

当前设置：λ = 0.17

噪声经过系统中的动态关系形成输出扰动：e(k) = 1.6e(k-1) - 0.7e(k-2) + λ[v(k) - v(k-1) + 0.2v(k-2)]

因此真正叠加到输出中的并不是简单独立白噪声，而是经过差分模型形成的相关扰动。

源码还计算：η = √[Σe²(k) / Σu²(k)]

并把它记为 yinta。当 λ=0.17 时，源码注释说明这个量大约为：0.3

更准确地说，它表示代码定义下的：

噪声响应与输入信号之间的均方根能量比例。

4. 为什么还要计算噪声方差？

程序对随机序列 v(k) 计算：COV = (1/500)Σv²(k)

因为 v(k) 使用标准正态分布生成，所以样本数足够多时，这个值应该接近：1

这相当于顺便检查：

当前生成的随机噪声是否符合单位方差白噪声的预期。

由于每次运行都会重新生成随机数，所以 COV 不会固定等于 1，只会在 1 附近波动。

5. 系统输出 y(k) 是怎样产生的？

程序先给定：y(1) 和 y(2)

然后从 k=3 开始递推：

y(k) = 1.6y(k-1) - 0.7y(k-2) + u(k-1) + 0.5u(k-2) + λ[v(k)-v(k-1)+0.2v(k-2)]

因此当前样本并不是外部文件读取的数据，而是：

由一个已知真实模型自动生成的仿真辨识数据。

这样做的好处是，最后可以把辨识结果和真实参数直接比较，判断 RLS 是否收敛正确。

6. 怎样把模型写成“线性参数”形式？

递推最小二乘的关键，是把当前输出写成：y(k) = hᵀ(k)θ + λv(k)

程序构造回归向量：

h(k) = [-y(k-1), -y(k-2), u(k-1), u(k-2), v(k-1), v(k-2)]ᵀ

对应参数向量：θ = [a₁, a₂, b₁, b₂, λc₁, λc₂]ᵀ

真实值为：θ = [-1.6, 0.7, 1, 0.5, -0.17, 0.034]ᵀ*

最后再把第 5、6 个估计值除以 λ，就恢复：c₁ = -1，c₂ = 0.2

这里的 λv(k) 相当于当前时刻无法提前知道的随机创新项，参数估计主要利用过去已知量解释当前输出。

7. 递推最小二乘到底怎样更新参数？

程序从一个很小的初始参数开始：

θ̂(0) = [0.001, 0.001, 0.001, 0.001, 0.001, 0.001]ᵀ

同时设置很大的初始协方差矩阵：P(0) = 10⁶I

表示开始时对参数非常不确定。

每来一个新样本，就先计算增益：

K(k) = P(k-1)h(k) / [1 + hᵀ(k)P(k-1)h(k)]

再计算预测误差：ε(k) = y(k) - hᵀ(k)θ̂(k-1)

然后更新参数：θ̂(k) = θ̂(k-1) + K(k)ε(k)

最后更新协方差：P(k) = P(k-1) - K(k)hᵀ(k)P(k-1)

整个过程重复到第 500 个采样点。

8. 为什么叫“递推”最小二乘？

普通批量最小二乘需要先收集一整批数据，再一次性计算参数。

RLS 的思路不同：

第 3 个样本 → 更新一次

第 4 个样本 → 再更新一次

……

第 500 个样本 → 得到最终估计

每次只需要：上一次参数估计；上一次 P；当前新数据。

因此非常适合：

数据不断实时到来的在线辨识。

不需要每加入一个新样本，就把前面全部 500 个数据重新做一次完整最小二乘计算。

9. 增益 K(k) 在算法里起什么作用？

参数更新可以写成：新参数 = 旧参数 + K × 当前预测误差

所以 K 决定：

当前这一条新数据应该把参数拉动多少。

开始时 P 很大，算法认为参数还很不确定，因此新数据通常会产生比较明显的调整。

随着越来越多数据被吸收，P 会逐渐收缩，参数更新也会趋于稳定。

这就是程序中参数估计曲线通常表现为：前期变化较快 → 后期逐渐靠近真实值并稳定的原因。

10. 最终怎样判断辨识结果好不好？

源码已经知道真实参数：[-1.6, 0.7, 1, 0.5, -1, 0.2]

所以它对每一次递推结果计算绝对误差：

e₁(k) = |â₁(k) - (-1.6)|

e₂(k) = |â₂(k) - 0.7|

其余参数同理。

如果算法工作正常，应该看到：

参数估计逐渐靠近真实值；

六条绝对误差整体减小；

后期估计值在真实参数附近波动。

由于每次运行都会生成新的随机噪声，所以第 500 点的具体数字并不完全固定。

但最终应该接近：

这 6 个目标值就是判断辨识是否成功最直接的标准。

11. 为什么 M 序列 + RLS 很适合做参数辨识教学？

优势一：输入具有足够变化

M 序列不是单调或恒定输入，它会持续在 0 和 1 之间变化，能够产生比较丰富的系统响应信息。

优势二：参数更新过程可以实时观察

RLS 每一个采样点都会给出一套新的参数估计，所以不仅能看最终结果，还能看到：

参数是怎样一步一步收敛的。

优势三：真实参数已知，可以直接验证

当前程序属于仿真实验。

先用真实模型生成 y(k)，再故意假装参数未知去辨识，所以最终结果可以直接和理论值比较。

优势四：计算量适合在线更新

RLS 不需要每次重新处理全部历史数据，而是利用已有 θ̂ 和 P 接收新样本，因此非常适合实时系统辨识的基本思想演示。

12. 为什么不直接用一次性最小二乘？

如果所有数据已经一次性采集完成，普通最小二乘当然也可以估计参数。

但它更像：收集全部数据 → 建矩阵 → 一次求解

当前程序更关注的是：数据逐点到来 → 参数逐点更新

因此 RLS 更适合演示：

在线辨识；实时参数跟踪；参数收敛过程。

如果以后把真实系统参数改成随时间缓慢变化，还可以进一步扩展到带遗忘因子的递推最小二乘，用于跟踪时变参数。

13. 程序最终能得到什么？

运行 bianshi.m 后，MATLAB 工作区主要得到：

u：M 序列输入；

v：高斯随机噪声；

y：500 点系统输出；

yinta：源码定义的噪声/输入比例；

COV：噪声样本方差；

theta：6 个参数从初始值到第 500 点的全部递推估计；

a1、a2、b1、b2、c1、c2：六条参数估计序列；

e1～e6：对应真实参数的绝对误差。

所以这份程序最核心的结果不是单独一个最终数字，而是：

六个未知参数从“不知道”逐渐收敛到真实值的完整辨识过程。

14. 它适合用在哪里？

自动控制系统辨识教学

可以把离散差分模型、伪随机输入和 RLS 递推估计连成一个完整实验。

在线参数估计入门

适合理解为什么实时系统不一定要等全部实验结束以后再辨识模型。

最小二乘算法学习

程序把回归向量、增益、参数更新和协方差更新全部直接写出，便于理解 RLS 每一步数学关系。

噪声环境下的辨识实验

修改 λ 可以直接观察噪声增强以后，参数收敛速度和最终波动怎样变化。

15. 怎么运行？

主程序只有一个：bianshi.m直接运行即可，不依赖外部数据文件。

程序会自动完成：

生成 M 序列 → 生成随机噪声 → 构造 500 点系统输出 → RLS 递推 498 次 → 输出 6 个最终参数 → 计算参数绝对误差

由于 v=randn(...) 没有固定随机种子，所以每次运行的噪声、yinta 和最终参数末位小数都会略有不同。

如果做扩展实验，最值得改变的是 噪声系数 λ、采样点数 t 和初始协方差 P(0)，它们分别影响噪声强度、可用于辨识的数据量和算法初始参数不确定程度。

16. 一句话看懂这个项目

这是一个递推最小二乘参数辨识程序：它用四级移位寄存器生成周期 15 的 M 序列作为输入，在 λ=0.17 的随机噪声下构造 500 点二阶 SISO 离散系统输出，再用 h(k)=[-y(k-1),-y(k-2),u(k-1),u(k-2),v(k-1),v(k-2)]ᵀ 建立回归模型，通过 RLS 增益 K、参数 θ̂ 和协方差 P 的逐点更新，在线辨识 a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂ 六个系数，理论目标分别为 [-1.6, 0.7, 1, 0.5, -1, 0.2]。