湍流理论与模拟（研究生力学丛书）-张兆顺_151-289
第5章 标量湍流
流动过程的传热和传质是自然环境和工程流动中常见的现象，湍流 脉动强化了流动过程的热能和物质输运。本章讨论不可压缩流体中温 差较低或被输送物质的浓度较小的传热和传质过程，这种情况下，流体 的密度几乎不变，仍然可以近似等于常数。由于温差和浓度较小，它们 的浮力也可以忽略，因此温度和浓度对于不可压缩流动没有任何作用 (既不改变流体的密度，又不改变流体质点上的作用力),仅仅是流体质 点携带标量在流动过程中迁移，因此这种传热和传质问题称做被动标量 的输运过程。也就是说，流体运动是主动的，标量输运是被动的。一部 分大气和水环境流动中的传热和传质可以近似为被动标量的输运。
5.1 均匀湍流中的被动标量输运
5.1.1 被动标量输运的控制方程
在被动标量的近似下，湍流中标量输运的基本方程是
式(5.1a) 和式(5.1b) 是流动控制方程，在均匀湍流情况下，也是湍流 脉动的控制方程，它们不受标量存在的影响，湍流场按给定的初始场 和边界条件在方程式(5.1a),(5.1b) 控制下发展。方程(5.2)是被动标量的控制方程。如果θ表示温度，κ是热导系数，则 √k=P 称做普朗特数，方 程(5.2)描述湍流场中的温度扩散；如果θ表示浓度，k 是质量扩散系数，则 √k=Sc 称为施密特数，方程(5.2)描述湍流场中的质量扩散。由于被动标量的 控制方程相同，本章以热能输运过程为例讨论标量输运，它们的性质可以直接 应用于质量输运。
标量输运方程(5.2)是线性的，已知湍流速度场，并给定标量场的初始和 边界条件，不难用数值方法确定标量场。虽然标量输运方程是线性的，而且它 和动量输运方程(5.1a) 相仿，主要包括对流和扩散过程；但是标量脉动场的 性质和脉动速度场有明显的差别。例如，具有高斯分布的均匀各向同性脉动 速度场中的均匀脉动温度场具有较大的间歇性( Shraiman 和 Siggia,2000)。 为了对湍流速度场中标量输运性质有一个最基本的了解，介绍均匀标量脉动 场(标量脉动的各阶统计矩在空间是均匀的)的分析方法和它的性质。
5.1.2 谱空间中标量脉动的输运
均匀脉动速度场中的湍流输运过程可用谱分解描述：
上式中 n,e,n 是整数。把展开式(5.3a) 和(5.3b) 代入式(5.2),得谱空间中 标量输运方程如下：
公式右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运，第二项是分子扩散。就是 说，湍流场中被动标量输运过程，由两部分组成：随脉动速度的对流和标量本 身的分子扩散。
可以定义标量脉动的谱 Se(k)=B(k)θ(k), 并称它为波数 k 上的标量谱，标量谱在谱空间球面上的积分 Eo(k)=J So(k)dA(k) 称为标量的拟 能谱，或简称标量能谱。由式(5.4)可导出脉动标量谱的输运方程如下：
To(k)=J TB(k)dA(k)是对流作用在谱空间的贡献，称做标量能量的传输 谱；-2 kk²E(k) 是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。
为了考察标量输运的性质，暂且忽略分子扩散，将标量输运方程简化为
上式表示，标量跟随流体质点迁移而不改变它的数值。举例来说：某一时刻， 湍流场中有局部均匀的温度分布 x)= 常数( |x|≤R) 。 随着时间的推移， 由于湍流脉动，温度随质点在空间随机游动。从欧拉观点来看，流场中具有随 时间变化的温度分布，它的概率分布取决于脉动速度场，由于速度脉动具有各 种尺度的成分，温度脉动在谱空间也形成分布。可以用流动显示方法来定性 考察标量的湍流输运，例如，在均匀湍流场中注入一滴墨水，由于湍流脉动速 度的迁移，墨迹的边缘愈来愈不规则，形成一种分维形的边界(定性地表示在 图5 - 1(a)) 。 不规则的标量曲折边界，说明初始均匀分布的浓度场，在湍流脉 动速度的迁移下，具有愈来愈多的小尺度脉动成分。图5-1( b) 表示在空间某
一方向上浓度的分布，初始局部均匀的浓度分布逐渐演化为不均匀分布，随着 时间的推移，产生愈来愈多的间歇性小尺度脉动。
以上定性的论述说明，湍流脉动速度的迁移作用使标量谱中大尺度成分 向小尺度传递。这一过程类似于湍动能传输链中的惯性输运，为了和湍动能 输运加以区别，标量随速度脉动的迁移称为对流输运；湍流动量传输称做惯 性输运。和脉动运动的动量输运过程类似，对流作用将大尺度的标量脉动“能 量”向小尺度脉动传递。考虑分子扩散时，标量谱方程说明标量“能量”耗散和 波数平方成正比，因此，小尺度的标量脉动消失得很快。如果分子扩散系数很 小，那么就会发生和大雷诺数湍动能输运的类似情况：标量谱的湍流输运中 存在两个可明确分离的尺度，标量的对流尺度和耗散尺度。被动标量的湍流 输运中，它的对流尺度取决于脉动速度的尺度；它的耗散尺度和分子扩散系 数有关。
5.1.3 均匀湍流场中标量输运规律
1. 标量输运的特征
为了对比湍流的动量输运和标量输运，把湍流运动方程和标量输运方程 写成无量纲形式，并加以比较：
式中 ,称做贝克来数，它表示标量输运过程中对流输运和扩散输运的 量级比。 Pe>1, 表示对流占绝对优势； Pe<1, 则分子扩散占绝对优势。在 湍流脉动速度场中，Re 数表示动量输运过程中对流(或惯性)和分子扩散的量 级比。速度脉动是多尺度的，在不同尺度的脉动中对流和扩散的量级差别很 大。例如，惯性子区中(》η,速度脉动是惯性占优，而耗散区( Kη 则是粘 性占优。用局部雷诺数来区分这两种情况：
式中 δu=|6 x+l)—ua)|max,它是给定尺度中脉动速度增量的最大值。 在耗散区，Re≤1, 在惯性子区 Re>1 。 对于标量输运应当用相应的速度尺 度、长度尺度和扩散系数来衡量。定义局部贝克来数 Pe:
Pe>1 的标量输运过程中对流占优； Pe《1, 扩散在标量输运中占优。
对于不同的流体，它们的粘性系数和扩散系数之比，即普朗特数 Pr, 可能 相差几个量级。例如，常见气体的 Pr~1; 而水的 Pr>1; 液态金属的 Pr< 1。由于普朗特数的不同，动量输运和标量输运中对流和分子扩散的量级会有 很大差别。由式(5.7)和式(5.8)的比值可以很清楚地看到这一差别：
就是说，普朗特数表示贝克来数和雷诺数之比。于是有以下三种情况，如图5-2。
(1)Pr1
这时 Pe～Re, 无论在哪一尺度下的脉动，局部雷诺数和局部贝克来数 总是同一量级的。所以，当动量输运过程是惯性占优时，标量输运是对流占 优；动量输运是粘性占优时，标量输运是扩散占优。这种情况下，人们推测：
无量纲的温度能谱和脉动速度能谱可能有类似的分布，参见图5-2最上面的 曲线。
(2)Pr<1
Pe《 Re时，无论在哪一尺度下的脉动，局部雷诺数总是远远大于局部贝 克来数。这种情况下，当标量输运处于对流占优的状态时( Pe>1), 动量输运 一定处于惯性占优的子惯性区( Re=Pe/Pr>1); 当标量输运已进入耗散占 优状态时( Pe<1), 动量输运可能仍然属于惯性占优( Re=Pe/Pr>1) 。 也 就是说，标量输运过程中对流占优的子区大大缩小了， 一部分标量扩散占优的 子区处于速度脉动的惯性子区，参见图5-2最下面的曲线。
(3)Pr>1
Pe》Re 时，无论在哪一尺度下的脉动，局部贝克来数总是远远大于局部 雷诺数。当动量输运处于惯性占优的惯性子区时( Re》1), 标量输运也是对 流占优( Pe=Re Pr》1); 而当动量输运处于耗散占优时( Re<1), 标量输运 仍然可能是对流占优( Pe>1), 即标量的对流子区扩大了，参见图5-2的中间 曲线。
归结起来：在均匀脉动速度场中，各个尺度的标量输运有以下四种过程：
① Re>1 和 Pe》1 的尺度中，标量是惯性对流输运；
② Re>1 和 Pe<1 的尺度中，标量是惯性扩散输运；
③ Re<1 和 Pe》1 的尺度中，标量是粘性对流输运；
④当然，一定有 Re<1 和 Pe<1 的情况，这时动量输运和标量输运分别 属于粘性占优和扩散占优，称做粘性扩散标量输运。
2. 标量能谱的经典理论
下面分别分析各种输运过程的标量能谱。
(1)惯性-对流标量输运的( Re>1 和 Pe>1) 标量能谱
惯性-对流标量输运过程中，动量输运和标量输运的尺度分别大于各自 的耗散尺度，这时脉动速度的能谱服从-5/3律，可以推测脉动标量的能谱也 遵循—5/3次方律。 Obuhkov(1949) 和 Corrsin(1951) 曾独立地提出如下 假定。
上式中 e 是标量能量耗散率，即
将脉动速度的一5/3次方 谱：E(k)=a²³k-5/3, 代入上式，得温度谱为
E(k)=Coεgε1/3 k⁵/3 (5.11)
Co称为Corrsin 系数，式(5.11)称为Obuhkov-Corrsin 谱，由大气边界层的实 测数据确定 Co=0.64 。 还可以从另一角度论证式(5. 11),在惯性对流标量 输运过程中，标量耗散率正比于局部标量“能量”kE(k) 和局部特征时间 τ( k) 之比
在惯性-对流过程中，脉动速度的特征时间只和波数有关，而和分子粘性和扩 散系数无关，由量纲分析可得
(k)～[kEk]]-1/2～E¹/³k2/3
将 zfk) 代入前一公式，也可得式(5.11)。
(2)惯性扩散标量输运的( Re》1 和 Pe<1) 标量能谱
惯性扩散标量输运过程需要考虑标量的分子扩散，而不必考虑分子粘 性。就是说，脉动速度的能谱仍然服从-5/3次方律。当标量输运处于扩散 占优的强耗散区时，Batchelor(1959) 假定：①谱空间标量输运方程中的时间 导数项可以忽略；②速度脉动和标量脉动是准正则过程。根据假定①脉动标 量输运方程可简化为
为了应用假定②,再写出0 k’,t) 的输运方程
将以上两公式相乘后做系综平均，得
准正则随机过程中(或称准高斯过程，在第3章的3.8节中已给出它的公式),4 阶矩等于所有2阶矩的乘积。在各向同性湍流中向量和标量乘积的系综平均等 于零(和前面证明各向同性湍流中 R=0 理由相同);于是上式中4阶矩等于
在对流扩散标量输运过程，脉动速度的能谱满足一5/3次方律，因此，标量输 运的能谱为
(3)粘性对流标量输运的( Re<1 和 Pe>1) 标量能谱
粘性-对流标量输运过程中，标量输运是对流占优，因此波段 k 中的标量 耗散率正比于该波段中的标量“能量”kE(k); 脉动速度处于耗散区，输运的 特征时间是 Kolmogorov 时间尺度， Ta=(e)-1/2, 于是标量耗散率有以下 关系：
以上推断是基于量纲分析，并没有从动力学角度予以验证，近年来，大量 直接数值模拟和实验结果对以上的论断提出质疑( Shraiman 和 Siggia, 2000)。①标量脉动具有较大的间歇性，比如，在均匀各向同性湍流中，速度脉 动分量的概率分布几乎是高斯的，而在这种脉动速度场中的标量脉动梯度则 偏离高斯分布；标量耗散率的间歇性也大于湍动能耗散的间歇性，用量纲方 法导出的能谱中，并不考虑湍动能耗散和标量耗散的间歇性；②根据 Kolmogrov 理论和Obukhov-Corrsin 理论，只有当雷诺数和贝克来数很大时， 速度脉动和标量脉动才能有-5/3次的能谱。实验和直接数值模拟结果发现 “异常”的情况：在 Pr1 的流体介质中低雷诺数均匀各向同性湍流的标量输 运过程，由于雷诺数较低，速度脉动的能谱中没有明显的—5/3次方的波段； 而在这一湍流场中的标量脉动的能谱中却有明显的-5/3次方的波段。标量 输运过程中还有其他“异常”情况( Shraiman 和 Siggia,2000;Warhaft,2000)和很有趣的问题。因此标量的湍流输运需要进一步深入研究。
原资料见附件
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