【CFD理论】SIMPLE 上篇：压力从哪里来？

在 CFD 后处理中，压力看起来和速度、温度一样普通。但在不可压 Navier-Stokes 方程里，压力并没有一条可以直接求解的输运方程。

SIMPLE 算法首先要回答的就是：压力到底从哪里来？

以不可压、稳态流动为例，核心方程可以概括为连续性方程和动量方程：

动量方程可以用来求速度，但连续性方程更像一道约束：速度场必须满足质量守恒。它不是一条直接求压力的方程。

不可压流动中，连续性方程是速度场约束，而不是压力方程。

如果先猜压力，再由动量方程求速度，得到的速度场不一定守恒。

如果再强行修正速度满足守恒，又可能破坏动量方程。SIMPLE 做的事，就是在这两者之间反复协调。

SIMPLE 可以理解成压力修正算法，关键动作只有两个：

• 从动量方程和连续性方程中构造压力方程，用来更新压力场。
• 据压力修正速度或面通量，让速度场重新满足连续性方程。

构造压力方程时，先把离散后的动量方程写成矩阵形式：

    是系数矩阵，     是速度向量。把      拆成对角部分      和非对角部分     ：

    是对角矩阵，容易求逆，因此速度可以写成：

图 2  通过矩阵拆分，把速度表达式代入连续性方程，可以得到压力方程。

把速度表达式代入连续性方程     ，即可得到压力方程的基本形式：

这就是“压力从哪里来”的答案：压力方程不是凭空假设的，而是由动量方程和连续性约束共同推出来的。