首页/文章/ 详情

应力不只是力除以面积：大变形中的应力度量

兵心依旧

1月前浏览375

在从线性弹性到大变形：应变和应变率为什么变复杂了？中我们介绍了大变形理论中的各种应变度量，这篇文章我们接着介绍大变形中的应力度量。

在传统的材料力学中，对于一个初始截面积为、受轴力的拉杆，其应力公式几乎是我们每个学过力学的理工科生的肌肉记忆。这本质上是“工程应力”（名义应力）的概念。

在大变形分析中，材料的面积、法向和体积都会随变形而改变。为了保证力、面积、构型与功率之间的一致性，连续介质力学引入了柯西应力、PK 应力和共旋应力等不同应力度量。各种应力间可以通过变形梯度转换。

本文将从“构型映射”出发，梳理非线性有限元中常见应力张量的物理含义、数学关系及工程应用场景。

PART 01

为什么需要多种应力度量？

理解复杂应力度量的前提，是明确非线性连续介质力学中的两个核心坐标系（构型）：

初始构型：物体变形前的状态，几何边界是已知的。
当前构型：物体变形后的状态，几何特征随受力不断演化。

在线性分析中，这两个构型几乎重合；但在大变形中，两者的差异不可忽略。同一个内力状态，如果我们选择映射的构型不同，或者除以的面积基准不同，就会得到截然不同的应力表达。不同的大变形有限元求解格式（如 TL 格式与 UL 格式），必然需要与之匹配的特定应力。

图1 不同构型与不同应力度量之间的对应关系

PART 02

柯西应力

柯西应力是最符合工程直觉的应力度量，通常被称为真实应力。

定义

完全定义于当前构型。表征当前时刻、作用在当前变形面积上的真实内力强度。

公式：

基础公式：（当前内力 = 柯西应力x当前法向x当前面积）

特点与应用

算例：考虑初始面积为的材料拉长倍。由于变细，当前截面积。此时施加轴力，柯西应力。由于使用了变细后的面积，拉伸时它的数值最大。
能量共轭：在虚功原理中，柯西应力必须与变形率张量配对，两者点积 表征当前单位体积内的变形功率。
局限性：由于其基准面积和方向时刻在变，当物体发生大转动时，柯西应力的分量会随观察坐标系发生改变。因此，在弹塑性增量计算中，不能直接对其求时间导数，必须引入客观应力率
应用：常用于更新的拉格朗日格式（UR）;接触压力分析以及流固耦合问题。

图2 柯西应力示意图

PART 03

第一Piola-Kirchhoff应力

第一 Piola-Kirchhoff 应力（PK1）在材料力学和实验力学中常被称为工程应力。

定义

一种混合构型度量。它将当前构型中的真实内力，除以初始构型中的参考面积。

公式

基础公式：
转换公式：

特点与应用

算例：对应到单轴拉伸试验中，它就是最常规的工程应力：

即当前力除以试件的初始面积
能量共轭：由于其连接了当前力与初始面积，在能量表达上，它与变形梯度率互为共轭搭档。
局限性：跨越两个构型导致它是一个不对称张量 ，所以在三维有限元方程求解中，极少直接作为主变量使用。
应用：做实验比较方便。

图2 工程应力 (PK1)示意图

PART 04

第二 Piola-Kirchhoff 应力

“纯数学应力”。既然PK1应力不对称是因为力在“当前”，面积在“初始”。那我们干脆把“当前的力”也退回到（映射回）“初始状态”，用退回的力除以初始面积。

定义

完全定义于初始构型。它不仅基准面积用初始的，连当前构型下的内力也被强行反向映射（Pull-back）回了初始构型。

公式

转换公式：

特点与应用

算例：在上述一维拉伸中，力和面积均被拉回参考状态，从而：

。它是三种度量中数值最小的。
能量共轭：它是一个严格的对称张量且不受刚体旋转干扰。在能量表达中，完美配对同样定义在初始构型的格林-拉格朗日应变率 。
应用：常用于完全拉格朗日格式(TL) 及超弹性材料（如橡胶 Mooney-Rivlin 模型）底层算法。

图3 PK2应力示意图

PART 05

旋转柯西应力

定义

剔除了刚体旋转效应的真实应力。它将柯西应力映射到随材料一同转动的“共旋参考系”中。

公式

根据连续介质力学的极分解定理，变形梯度张量可分解为刚体旋转张量和右伸长张量（即）。
柯西旋转应力与柯西应力的关系为：

应用

大旋转-小应变问题：完美解耦柔性梁/壳大变形中的“几何大旋转”与“材料小应变”。
本构方程的客观积分：为了避免刚体转动产生虚假应力，必须采用客观应力率。柯西旋转应力对应的客观速率是 Green-Naghdi 应力率，常被用于显式动力学的本构更新算法中。
共旋有限元格式（CR 格式）：共旋坐标法的核心应力度量，是对TL格式和 UL格式的重要补充。

图4 固定空间坐标系与随体旋转坐标系中的应力分量对比

PART 06

克希霍夫应力

定义

可以理解为“加权的真实应力”。它是将当前构型下的柯西应力（真实应力）用体积变化比（雅可比行列式）放大后得到的应力度量。

公式

其中，是变形前后的体积比。对于完全不可压缩材料，克希霍夫应力等于柯西应力。

物理意义

没有直接的“力/面积”物理直观感，而是一种纯数学构造的中间量。
描述了当前构型的内力状态，但参照的是初始构型的单位体积（而非单位面积）。

工程与计算应用

做功共轭:克希霍夫应力与变形速率张量（空间应变率）是功共轭对，在推导大变形方程时比较方便。
大变形金属塑性：在有限应变弹塑性理论中极度常见。使用它代替柯西应力，可以消除本构积分中由体积变化引起的非对称项，极大提高有限元计算的切线刚度矩阵对称性和收敛性。
推前/拉回映射：它是连接空间构型（柯西）与物质构型（第二类PK）的核心桥梁。