作业11 答案（1、2、3题） 求临界应力为原压杆
圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界应力为原压杆的（ ）；若将压杆的横截面改为面积相同的正方形截面，则其临界应力为原压杆的（ ）。
解答
细长压杆的欧拉临界压力为：
临界应力为：
由于回转半径满足：
所以临界应力可写为：
题中材料、杆长和杆端约束保持不变，即 、 、 均不变，因此：
也就是说，本题只需要比较截面回转半径平方 的变化。
第一问：直径缩小一半
设原圆截面直径为 。
圆截面面积为：
圆截面对形心轴的惯性矩为：
圆截面的回转半径平方为：
因此：
若直径缩小一半，即：
则新的临界应力与原临界应力之比为：
所以，直径缩小一半后，临界应力为原来的：
第二问：改为面积相同的正方形截面
设原圆截面直径为 。
原圆截面面积为：
原圆截面对形心轴的惯性矩为：
因此圆截面的回转半径为：
所以：
若将截面改为面积相同的正方形截面，设正方形边长为 ，则：
因此：
正方形截面对形心轴的惯性矩为：
正方形截面的回转半径为：
所以：
代入 ，得：
由于材料、杆长和杆端约束均不变，有：
因此，正方形截面压杆与原圆截面压杆的临界应力之比为：
所以，改为面积相同的正方形截面后，临界应力为原来的：
最终答案
若将压杆的直径缩小一半，则其临界应力为原压杆的：
若将压杆的横截面改为面积相同的正方形截面，则其临界应力为原压杆的：
因此，原题应填：
如图所示四根细长压杆，材料以及横截面面积均相同，其中，（ ）最容易失稳，（ ）最不容易失稳。 
解答
细长压杆的欧拉临界压力为：
其中， 为材料弹性模量， 为截面对失稳方向的惯性矩， 为压杆实际长度， 为长度系数， 称为相当长度。
题中四根压杆的材料和横截面面积均相同，若截面形式相同，则 和 相同。因此，临界压力主要取决于相当长度 ：
所以：
相当长度 越大，临界压力越小，压杆越容易失稳； 相当长度 越小，临界压力越大，压杆越不容易失稳。
第一问：哪根压杆最容易失稳
分别计算四根压杆的相当长度。
（a）两端铰支
图（a）可看作两端铰支压杆，其长度系数为：
实际长度为：
所以相当长度为：
（b）一端固定、一端铰支
图（b）可看作一端固定、一端铰支压杆，其长度系数约为：
实际长度为：
所以相当长度为：
（c）两端固定
图（c）可看作两端固定压杆，其长度系数为：
实际长度为：
所以相当长度为：
（d）一端固定、一端自由
图（d）可看作一端固定、一端自由压杆，其长度系数为：
实际长度为：
所以相当长度为：
四根压杆的相当长度分别为：
因为：
所以图（a）的相当长度最大，临界压力最小，最容易失稳。
因此，第一空应填：
第二问：哪根压杆最不容易失稳
根据前面的计算结果，四根压杆的相当长度大小关系为：
由于：
相当长度越小，临界压力越大，越不容易失稳。
图（d）的相当长度最小：
所以图（d）临界压力最大，最不容易失稳。
因此，第二空应填：
最终答案
如图所示四根细长压杆，材料以及横截面面积均相同，其中，图（a）最容易失稳，图（d）最不容易失稳。
即：
试求图示三种不同杆端约束压杆的临界压力。材料为 Q235 钢， ， ， ， ， 。Q235 钢中柔度杆直线经验公式为 。
