应变分析内容精要
3.1位移分量与应变分量的表述
在外荷载作用下，弹性体内各点发生位置变化,刚体 位移在以前就已经研究过了,这里只研究和变形有关的位移,比如拉伸产生的伸长位移，方向改变产生的剪应变。今天只考虑直角坐标下的分析，其它坐标的分析思路是一样的，后面章节再进行讨论。
变形后物体中每点的位移是不同的，因此位移是坐标的连续函数，比如直角坐标的函数。物体中任意一点在变形后发生移动，则新旧位移形成的矢量就是该点的位移矢量，为研究方便，将位移矢量投影到3个坐标方向，称为位移分量，用u、v、w分别表示三个方向的位移，各位移是变形前后该点在三个方向坐标的对应的差值，因此位移分量不但是坐标的函数，而且必须是单值的，即一个点位移后应有一个确定的位置而不得有几个位置，比如开裂就不满足这一要求。
位移和应变有何关系呢？
微线段发生位移后，产生的单位长度的变化量称为正应变；比如，x方向取一微线段长为dx，起始点产生x向的位移是u，则终点产生的x向位移将和起始点不同，因为u的一个自变量x发生了dx大小的变化，因此u沿着x的变化率再乘上dx，就得到了终点相比起始点的x方向位移的改变量，改变量和原来长度dx的比值，就是正应变的定义。当然，dx也引起了y方向的v和z方向的w，这是x向的线段向y、z方向的偏转，偏转很小，因此产生的线段长度变化可以忽略，因此正应变计算时可以只考虑线段的伸缩情况。
一个角度在变形后，角度的改变量可以用剪应变来表述。为了便于比较，这里只考虑90°夹角的改变量，比如三个坐标方向的角度改变量γij用表示。γ表示角度改变量，i、j表示原相互垂直的方向由于变形产生转角引起的原90度夹角的改变量。由于转角是微小的，因此转角的正切和转角是近似相等的，而转角的正切是可以计算的，比如x方向的转角的正切，就是x方向线段终点的v与起始点v的差异值再比上dx，这里忽略了dx在变形后的x方向的长度改变量。由于是小变形的假设，这样的简化计算是合理的。至此得到了剪应变与位移的关系式。
应变与位移的关系式称为几何方程，它是弹性力学求解问题的第二类基本方程，总共有6个。请注意，位移只有三个量，却产生了6个应变，因此6个应变之间是有约束关系的，约束关系称为变形协调方程，变形协调方程基本形式也有6个，用张量的表达式方便记忆。
至此讨论了一点形变的直角坐标的描述，完整的一点的形变描述应该用9个应变分量，应变分量又称工程应变。应变分量不是二阶张量，而取剪应变的一半形成的9个量符合张量运算规律。
思考一下，应变张量εij如何表示呢？
3.2一点的形变状态描述
应力分析中，一点的应力状态描述，描述可以用一个应力矢量，也可以用正应力和剪应力两个量，也可以用三个坐标应力，最完整的描述是9个应力分量。同理，一点的形变状态描述相类似，只是一个量和三个量的描述物理意义不大，因此类似的分为两个量和9个量的描述。比如，一点的某个方向的伸缩情况用εN描述，一点的某个角度的改变量用γ来描述。
一点某个方向的伸缩情况描述时，过该点取空间的一个微线段长为dr，微线段的方向用l、m、n表示，微线段在外力作用时产生伸缩和旋转，伸缩变形量与正应变有关，旋转与剪应变有关，分析正应变时，变形后的微线段长度平方是微线段在三个方向的位移增量的平方和，忽略二阶以上的小量，考虑dr与dx、dy和dz的关系后，可以得到任意方向的伸缩应变与该点应变分量之间的关系，其形式和斜面正应力用应力分量表述是完全一致的。
任意角度改变量的剪应变不好直接描述，可以用变形前后角度的余弦差值表示，因为任意线段变形前后的位置是唯一确定的，因此角度余弦是可以确定的，只是剪应变分析过程更繁琐些，表达式也复杂，庆幸的是，这个复杂的公式应用并不多。
3.3主应变与体积应变
和主应力相类似，应变也有主应变。物体在变形过程中，过一点的线段只沿着它原来的方向伸长或缩短而不发生方向改变时，该方向称为应变主方向，主方向的应变称为主应变。
一点的主应变是该点各方向正应变的极值。任意方向的正应变是应变分量的函数，设εN为主应变，它是一个未定的常数，因此构造函数ε-εN，求此函数的极值就是求正应变的极值，求解过程和主应力的相似，特征方程是相同的一元三次方程。
体积应变即弹性体在变形前后单位体积的改变，体积应变等于应变张量的第一不变量。
至此，可以根据位移计算应变了，也可以根据应变确定位移，应变之间是有约束关系的，约束关系就是变形协调方程。
