有限元怎么通过有限个点，模拟连续世界的？
前面我们讲网格划分时，说过一句话：
仿真计算的第一步，是把一个连续的几何区域，切成有限个小单元。
这句话听起来很自然。
但仔细想一下，它其实马上带来一个新问题：
真实世界里的位移、温度、速度、压力，理论上在每一个位置都有值。
可是计算机不可能把每一个位置都单独算一遍，它只能处理有限个数。
那问题就来了：
节点之间的值从哪里来？
单元内部的值从哪里来？
后处理里那些看起来连续变化的云图，又是怎么画出来的？
这篇文章就接着前面的网格划分，讲一个有限元里非常核心，但新手经常没真正想清楚的问题：
有限元是怎么用有限个点，去近似一个连续世界的？
答案就在一个关键词里：形函数。
不过我们先不要急着给定义。
我们先从一个最简单的问题开始。
一、节点之间的值从哪里来？
网格划分以后，计算机通常并不是把单元内部每一个位置都直接算出来。
在有限元里，最常见的做法是：先求一些有限位置上的未知量。
比如：
结构仿真里，求节点上的位移； 热分析里，求节点上的温度； 电场分析里，求节点上的电势。
但真实的结构、温度场、电势场，不会只存在于节点上。节点之间、单元内部的任意位置，也应该有值。
那这些没有直接求解的位置怎么办？
最自然的想法是：既然节点上的值已经知道了，那中间的值是不是可以按照某种规则，由周围节点的值推出来？
比如一个点靠近左边节点，它就多受左边节点影响；靠近右边节点，就多受右边节点影响；如果正好在中间，就左右各占一半。
这其实就是一种补值。
而在有限元里，这套补值规则，就叫形函数。
它要回答的问题很简单：
单元内部任意一点的值，应该由周围节点的值，按照什么比例组合出来？
二、一个最简单的例子：一根线段上的温度
先看最简单的一维情况。
假设有一根线段，左端节点温度是 20℃，右端节点温度是 40℃。
现在我们想知道线段中间某一点的温度。
如果采用最简单的线性插值：越靠近哪个端点，就越受那个端点影响。
比如正中间的位置，温度可以估计为：
中点温度 = 50% × 20℃ + 50% × 40℃
= 30℃
如果某个点更靠近左端，比如左端影响占 80%，右端影响占 20%：
某点温度 = 80% × 20℃ + 20% × 40℃
= 24℃
这里的 50%、50%，或者 80%、20%，不是随便拍脑袋来的，它们就是由形函数给出的权重。
三、线性只是最简单的补值法
刚才这个例子里，我们默认温度从 20℃ 到 40℃ 是一条直线变化。
这就是一阶，也就是线性形函数。
如果真实物理量的变化本来就接近线性，那这种补法可能已经够用。
但真实仿真里，很多变化并没有这么简单。
比如：
梁弯曲时，位移可能不是直线变化； 温度场可能存在明显曲率； 电势分布可能在局部变化很快； 复杂几何边界附近，物理量也可能不是简单线性变化。
如果仍然只用最简单的线性规则去补，就可能不够准确。
所以有限元里会有不同阶次的形函数，可以是一阶、二阶、三阶。
一阶形函数：补出来的变化比较直； 二阶形函数：可以表达一定弯曲； 三阶形函数：可以表达更复杂的变化。
一维单元中线性（左）、二次（中）和三次（右）形函数的示意图。
这也是为什么在单元数量不变的情况下，提高单元阶次有时能得到更准确、更平滑的结果——不是增加了更多单元，而是让每个单元内部的补值规则更有表达能力。
当然，代价也很明显：阶次越高，自由度越多，计算成本也会增加。所以具体选几阶，还是要结合精度需求和计算资源一起判断。
四、形函数不只影响物理量，也会影响几何边界
不只是“物理量”有 shape function，连“几何”本身也可以有 shape function。几何形函数会影响曲线几何边界怎么被网格近似出来。
比如一个半圆形区域，如果只用低阶线性三角形去近似，弯曲边界会被拉成直线，几何形状就会变得很粗糙。而使用二阶或更高阶几何形函数时，即使用较少单元，也可以更好地贴近原来的曲线几何。
一个半圆形区域（左图），分别使用线性（中左）、二次（中右）和三次（右图）几何形函数进行离散化。蓝色圆点表示节点。
这也提醒我们：
网格不是只决定"算多少块"，形函数也不是只决定"节点之间怎么补"。
它们共同影响两个东西：
几何怎么被近似； 物理场怎么被近似。
这就是为什么有限元里的"单元阶次"并不是一个无关紧要的小设置。
五、从一维扩展到二维
一维线段比较容易理解：两个端点知道了，中间怎么补。
二维呢？逻辑没有变，只是从线上补变成了在面里补。
比如一个四边形单元有 4 个角点。
有限元会先求出这 4 个节点上的未知量，然后用二维形函数，把单元内部任意一点的值补出来。
你可以把一个二维四边形单元想象成一张小纸片。
纸片四个角上的温度已经知道了，那纸片中间某一点的温度，就由四个角点共同决定——靠近哪个角点，就更多受哪个角点影响。每个角点的影响权重，就是对应的形函数值。
如果是三角形单元，道理也一样。只不过参与补值的是三个角点，或者在高阶单元里，还会有边中点等更多节点参与。
六、再扩展到三维
三维实体单元也是同一个逻辑，只不过从面变成了体。
比如一个 8 节点六面体单元，可以想象成一个小砖块。软件求解 8 个角点上的未知量，小砖块内部任意一点的值，则由这 8 个角点按形函数给出的权重组合而来。
简单总结：
一维：在线段上补值 二维：在面单元里补值 三维：在体单元里补值
七、有限元不是把有限真的变成无限
讲到这里，很容易产生一个误解：有限元是不是把有限个点，变成了无限连续的空间？
不完全是。更准确地说，有限元是用有限个未知量，构造一个近似连续的物理场。形函数在这两者之间搭了一座桥——它让有限个节点值不再只是孤立的数字，而是可以在单元内部组合成连续的近似分布。
这个近似分布不等于真实世界本身。但如果网格足够合理、形函数阶次合适、模型假设正确，它就可以足够接近真实解。
八、FEM 和 FVM 的补值思路有什么不同？
顺便对比一下有限体积法（FVM）。FEM 和 FVM 都要解决"中间位置怎么办"的问题，但重点不一样。
FEM 的补值重点是：
用节点值和形函数，补出单元内部的近似连续场。
FVM 的补值重点是：
用单元中心值或单元平均值，重构边界或面上的值，从而计算控制体之间的通量交换。
如果用一句话区分：
FEM 补的是"单元内部怎么连续变化"；FVM 补的是"单元边界上怎么交换通量"。
比如二维 FVM 中，每个小单元像一块地砖，更关心的是这块地砖和周围地砖之间，通过共同边界交换了多少质量、动量或热量：
单元中心值 → 重构到单元边/面上 → 计算通量 → 更新控制体平均值
到了三维，道理一样，只是共同边变成了共同面。
九、结尾：有限元真正厉害的地方
有限元真正厉害的地方，不是把"有限"真的变成"无限"，而是用有限个未知量，有规则地近似一个连续的物理场。
理解形函数很重要，因为它回答的是一个非常实际的问题：
计算机只算有限个点，仿真软件凭什么画出连续的云图？
答案就是：靠形函数这套补值规则，把有限个节点值组织成一个近似连续的世界。
参考资料：
