作业9-2答案 斜截面上的正应力和切应力

题目：已知：    ，    ，    。求：斜截面      上的正应力和切应力。

一、已知应力状态

已知平面应力状态为：

因此，单元体只受      方向压应力作用，     面上无正应力，且无切应力。

二、确定应力圆上的已知点

应力圆上，横坐标为正应力     ，纵坐标为切应力     。

对于      面，对应应力圆上的点为：

代入：

对于      面，对应应力圆上的点为：

由于     ，所以：

因此，应力圆的两个端点为      和     。

三、求应力圆圆心和半径

应力圆圆心为：

代入：

所以圆心坐标为：

应力圆半径为：

代入：

四、确定斜截面对应的应力圆转角

由图可知，斜截面      的法线从      轴顺时针转过     ，因此实际截面法线转角为：

在应力圆中，对应转角为实际转角的两倍：

也就是说，从      点出发，沿应力圆顺时针旋转     ，得到斜截面      对应的应力点     。

五、求斜截面      上的正应力

应力圆参数方程可写为：

其中：

代入正应力公式：

由于：

所以：

因此：

六、求斜截面      上的切应力

切应力为：

代入：

由于：

所以：

因此：

七、最终结果

其中，    ，说明斜截面      上的正应力为压应力；    ，说明斜截面上的切应力方向与所规定的正切应力方向相反。