Reigh-Ritz法求解欧拉伯努利梁问题

1. 问题描述

一端固定的悬臂梁,同时承受:

• 均布载荷 q = −45 KN/m(全长)
• 集中载荷 P = −100 KN(作用在 x₁ = 4 m 处)

2. Rayleigh-Ritz 法思路

直接解 Euler-Bernoulli 微分方程

在有集中载荷、分布载荷混合时,需要奇异函数逐段积分。Rayleigh-Ritz 绕开这一点,把它转为一个能量最小化问题:

1. 假设挠度形状       (这里取 n = 6)。
2. 施加几何边界条件(固定端       ),消去 a₀、a₁。
3. 计算总势能      (应变能 − 外力做功)。
4. 对剩余系数取变分       ,得到线性方程组,解出所有 aᵢ。

3. 外力做功

分布载荷沿梁长积分,集中载荷只在作用点取值:

   是均布载载荷做功，    是集中力做功载荷。

4. 内部应变能

   是中性轴方向，    是垂直中性轴方向。

为什么应变能写成上述形式:

4.1 应变能密度(三维弹性体)

线弹性材料单位体积的储能:

对纯单轴弯曲,只有轴向应力      与应变      起作用:

4.2 Euler-Bernoulli 梁假设

"平面截面保持平面、且始终垂直于中性轴" ⇒ 离中性轴距离为      处的轴向应变 等于曲率 κ 乘以     :

(小变形下     。)

4.3 对截面积分 → 线密度

在 x₁ 处、厚度为 dx₁ 的一小段梁,其储能为

其中面积积分正是截面的惯性矩定义:

于是每段弯曲应变能的线密度为

4.4 沿梁长积分

最终整根梁的弯曲应变能:

5. 变分与求解

总势能:

稳定性(能量极小)要求:

6. 欧拉伯努利方程-解析解

对 Euler-Bernoulli 方程四次积分,加上端点反力     、固端弯矩    ,并用奇异函数处理集中载荷:

其中      是 Macaulay 奇异函数（括号函数），当      时取值为 0。

7. 弯矩、剪力、应力

Euler-Bernoulli 梁的内力关系:

弯曲应力、剪应力(矩形截面):

8. 结果分析

• 红色是解析解，黑色为近似解

六次多项式已足够逼近这个问题的精确解。但是剪力图作为更高次的求导结果在 x₁=4 m 处,解析解有阶跃,这是因为用的 Ritz 试函数是全局光滑多项式，而真实解在点载荷处本来就不光滑。提高阶数只能在这个前提下“缓解”，但解决不了本质问题。

• 左边列是解析解，右边列为近似解

通过上图可以看到 Ritz 方法用全局光滑函数逼近高阶导数时，在自由端会产生误差，这是因为 Ritz 方法保证的是“能量最优”，不是“导数局部精确”，而剪力：是三阶导，对局部误差极其敏感，在边界最容易由于积累暴露问题。

来源：兵哥讲力学