作业7-2-1答案

用积分法求图中所示各梁的挠曲线方程；用叠加法求自由端的挠度和转角；对比积分法和叠加法结果。 设 EI为常量。

这是一个左端固支、右端自由的悬臂梁，全长为     。

• 左半段       ，长度为       ，无载荷；
• 右半段       ，长度为       ，承受均布载荷       ；
• 设        为常量。

要求：

1. 用积分法求挠曲线方程；
2. 用叠加法求自由端        的挠度和转角；
3. 对比积分法和叠加法结果。

取坐标      自固端      向右。

一、积分法求挠曲线方程

梁分两段：

• 第1段：      
• 第2段：      

（1）第1段：    

在距      点      处截开，取截面右侧分析。

右侧受均布载荷     ，作用区间为     ，总长度为

其合力为

合力作用点位于该均布载荷区间的中点，距      点的距离为

故合力到截面的距离为

因此截面弯矩为

即

于是挠曲微分方程为

积分一次：

再积分一次：

（2）第2段：    

在距      点      处截开，取截面右侧分析。

右侧均布载荷作用长度为

其合力为

合力作用点距截面的距离为

故截面弯矩为

于是挠曲微分方程为

展开得

积分一次：

再积分一次：

（3）由边界条件和连续条件求积分常数

1. 固端      处边界条件

固端满足

代入得

所以

2. 在      处满足连续条件

由于      点无集中力、无集中力偶，因此挠度和转角连续，即

先求第1段在      处的值。

转角：

挠度：

再求第2段在      处的值。

转角：

由转角连续：

得

再由挠度连续求     ：

通分得

由

即

所以

（4）挠曲线方程

第1段：    

故

第2段：    

代入     ，    ，得

故

（5）由积分法求自由端      的转角和挠度

自由端对应     。

自由端转角

由

代入     ：

故

自由端挠度

由

通分得

故

二、用叠加法求自由端      的转角与挠度

把原载荷分解为：

• 情形1：全长        上作用均布载荷       
• 情形2：左半段        上作用均布载荷       

则原题载荷可写为：

（1）情形1：全长      上作用均布载荷     

对悬臂梁全长均布载荷，查基本公式得自由端      的转角和挠度：

（2）情形2：左半段      上作用均布载荷     

先把      看成长度为      的悬臂梁，其自由端为     。

由基本公式：

由于      段无载荷，所以      段保持直线，仅随      点一起平移并转动。因此

并且

即

（3）原问题的自由端转角与挠度

由叠加原理：

代入得

同理，

代入得

三、结果对比

积分法所得：

叠加法所得：

两种方法结果完全一致。

四、最终结果

挠曲线方程为

自由端      的转角为

自由端      的挠度为

负号表示自由端转角为顺时针、挠度向下。