随机事件及其概率
样本空间和随机事件
在同一条件下，对现实世界中的某一问题重复进行多次试验或观测，如果试验满足以下3条特征，我们称之为随机试验。
可以在相同条件下重复执行。 事先就能知道可能出现的结果。 试验开始前并不确定这一次的结果。
这些试验结果预先是不确定的。例如，在相同情况下抛同一枚硬币，其结果可能正面向上，也可能反面向上;射击中是否能击中目标等，这些都属于随机试验。
随机试验所有可能的观测结果称为样本空间，记为 ，其中每一个元素 称为一个样本点或原子事件。 的一个子集E称为事件。所有子集组成的空间称为事件空间，记为 。
掷一个骰 子,所有可能出现的点数构成样本空间， ，事件 表示掷一颗骰 子得到的点数是1。
考虑地震后结构受损状态，其由样本空间描述为 。 其中
N(no damage )表示无损坏L(light damage)表示轻微损坏I(important damage)表示严重损坏C(collapse)表示倒塌
在此背景下，事件 包含无损坏和轻微损坏两种可能，而另一事件 仅包含倒塌状态。
事件间的关系与运算
概率论中对随机事件的关系和运算的描述，都可转化为集 合论语言来描述。表1中列出了事件的关系、运算和集 合的关系及运算的对应关系。
事件的关系与运算也可以用文氏图(Venn diagrams)来直观地表示，长方形表示样本空间 ，里面的两个圆分别表示事件A与事件B，如图1所示。
频率与概率
P(E)表示事件E的概率。对概率有两种主要解释:频率派与贝叶斯派。频率主义者将概率解释为E发生次数 与样本数 的相对比值，当 趋近于∞时
显然，作为可能性大小的度量，概率具有以下的特性。
(1)非负性:对任意的随机事件E， 。 (2)规范性: 。 (3)可加性:对于N个互斥的事件 ，其和事件的概率应该等于它们的概率之和，即
在掷骰 子的例子中，假定6个数的出现都是等可能的，那么我们有P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6})=1/6
由(2)推出得到点数为偶数的概率等于P({2,4,6})=P({2})+P({4})+P({6})=1/2
假定同时掷两颗骰 子得到的36个结果都是等可能地出现的，即
其点数之和为
统计重复之后，作为样本空间
用Python模拟概率分布
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 1. 创建二维数组
rows = np.arange(6)
cols = np.arange(6).reshape(-1, 1)
arr = rows + cols + 2
print("二维数组：")
print(arr)
# 2. 统计点数之和相同的次数
flattened = arr.ravel() #将多维数组扁平化为一维数组
values, counts = np.unique(flattened, return_counts=True)
#np.unique()函数的核心功能是返回数组中的唯一值，默认会排序结果
# counts-点数之和相同的次数
print("\n数字及其出现次数：")
for val, cnt in zip(values, counts):
print(f"数字 {val} 出现 {cnt} 次")
p = counts/36#概率
str_values = list(map(str, values))
# 3. 可视化
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.bar(values, p, tick_label = str_values) # 直接在条形上添加x轴标签
plt.xlabel('点数之和')
plt.ylabel('概率')
plt.title('两枚骰 子点数之和的概率分布')
plt.show()
对贝叶斯主义者而言，概率衡量事件E相对于 中其他事件的可能性。这种解释假定不确定性的本质是认知性的，即描述我们对现象的认知。例如，概率取决于现有知识，并可在获得新信息时改变。预测天气时，同样是预测将来的某一天，前半个月的预测和前一周的预测结果是不一样的。
来源：数值分析与有限元编程
