固体力学中应力辨析：从张量理论到工程应用

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摘要

在固体力学、连续介质力学及有限元分析领域，“应力”概念因观察视角（参考构型）和分析尺度（张量与标量）的不同，衍生出了多种定义。本文旨在系统梳理各类应力的物理意义、数学表达及其适用场景，建立从“连续介质力学理论”到“材料宏观试验”，再到“工程强度评估”的全景式力学框架。

1. 核心概念勘误：工程应力与名义应力

在进入张量体系前，需对学术界及工程界常混淆的两个术语进行界定：

在固体力学和材料科学的标准定义中，工程应力（Engineering Stress）和名义应力（Nominal Stress）在物理意义和数学计算上是完全等价的。两者均指代外部瞬时载荷与试件初始（未变形）截面积的比值。其术语差异仅源于不同历史时期或不同子学科的命名习惯，在严谨的学术语境中可互相替代。

2. 连续介质力学中的应力张量体系（大变形/几何非线性视角）

在处理大变形或几何非线性问题时，材料的面积和体积发生显著变化，内力与面积的映射关系必须通过张量理论严格描述。设变形梯度张量为，体积雅可比行列式为。

2.1 柯西应力（Cauchy Stress, ）

物理意义：定义在当前构型（变形后状态）上的应力。它衡量的是当前变形状态下，微元体单位当前面积上所受的实际内力。
张量属性：也被称为真实应力张量（True Stress Tensor）。受角动量守恒原理约束，它是一个对称张量（）。在建立柯西运动方程及描述材料真实的物理屈服面时，柯西应力是核心变量。

2.2 第一类皮奥拉-基尔霍夫应力（1st Piola-Kirchhoff Stress）

物理意义：将当前状态下的受力，映射回参考构型（未变形状态）的初始面积上。它本质上是一维“工程应力/名义应力”在三维空间中的张量化推广。
数学表达：
张量属性：这是一个非对称张量（通常）。由于其非对称性，在有限元计算中极少作为未知量直接求解，但它是连接外部名义边界条件与内部真实力学状态的关键纽带。

2.3 第二类皮奥拉-基尔霍夫应力（2nd Piola-Kirchhoff Stress）

物理意义：将当前状态下的受力通过纯变形“拉回（Pull-back）”到参考构型，并作用在初始面积上。它是一个纯粹的力学与数学抽象概念，无直观的宏观物理对应物。
数学表达：
张量属性：这是一个客观（Objective）且对称的张量（）。由于其与格林-拉格朗日应变张量（Green-Lagrange Strain）能量共轭，在几何非线性有限元分析（FEA）的本构方程和刚度矩阵推导中被极其广泛地应用。

3. 材料试验中的宏观标量应力（唯象/一维视角）

在标准单轴拉伸或压缩试验中，复杂的张量系统通常退化为一维标量形式，以建立宏观的应力-应变本构关系。

3.1 工程应力 / 名义应力（）

计算方法：瞬时载荷除以试样的初始截面积 。
适用性与局限性：在小变形（线弹性）阶段，初始面积与真实面积差异极小，使用工程应力具有足够的精度。但当材料发生塑性屈服甚至产生颈缩（Necking）时，实际截面积急剧减小，导致工程应力-应变曲线上出现“下降段”。这种下降是未考虑截面面积缩减而产生的物理假象，并不代表材料真实承载（硬化）能力的下降。

3.2 真实应力（）

计算方法：瞬时载荷除以试样的瞬时真实截面积 。
理论联系：在均匀塑性变形阶段（即颈缩发生前），在材料体积不可压缩的假设下（），真实应力与工程应力的理论转换关系为：
（式中为工程应变）。

4. 工程强度评估中的应力不变量与等效应力

在三维复杂应力状态下，需将应力张量退化为特定的标量不变量，以便代入相应的强度理论进行屈服或断裂判定。

4.1 主应力（Principal Stress, ）

数学定义：应力张量矩阵的三个特征值。物理上表征空间中只存在正应力而无剪应力的特定截面上的正应力值。
工程应用：最大主应力（）常用于评估脆性材料的解理断裂（基于最大拉应力理论 / 第一强度理论）。

4.2 冯·米塞斯应力（von Mises Stress / Equivalent Stress, ）

物理定义：基于形状改变比能（Distortion Energy）密度导出的标量综合指标。
数学表达：
工程应用：表征材料发生塑性屈服的驱动力（基于形状改变比能理论 / 第四强度理论）。它是评价延性金属材料屈服最准确、最常用的指标，也是商用有限元软件（如 Abaqus, ANSYS）默认输出的应力标量。

5. 基于物理成因与自平衡尺度的分类

在工程力学实践中，常根据应力的产生原因及作用尺度进行额外分类：

宏观应力（结构应力）：由外部载荷直接引起，在宏观结构整体尺度上满足静力学平衡方程。
残余应力（Residual Stress）：在卸除所有外部力学和热学边界条件后，因不均匀塑性变形、温度梯度冷却（如焊接、热处理）或固态相变，残留在材料内部且自我平衡的内应力。
热应力（Thermal Stress）：物体处于温度场变化中，因热胀冷缩效应受到外部位移约束，或因内部温度梯度导致各部分相互约束而产生的应力。其本构关系显含材料的线膨胀系数及温差。

结论

固体力学中的应力体系严格依赖于参考构型与分析目的。在进行理论推导与大变形算法设计时，需准确区分并选用相应的应力张量（如柯西应力或皮奥拉-基尔霍夫应力）；在处理材料实验数据时，需厘清工程应力与真实应力的物理边界；而在工程部件的安全性评估中，应根据材料的脆性或延性特征，合理提取主应力或等效应力进行强度校核。

来源：有限元先生

用BAT批处理文件高效调用Abaqus —— 从入门到Fortran子程序集成

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