力学概念 | 杆件约束对临界承载力的影响
由细长杆临界承载力的欧拉公式可知，临界承载力大小与杆件计算长度系数 负相关。当压杆的 减小，则轴向压力必须增加才能使其进一步弯曲并最终失稳。而长度系数 则由杆件的约束条件体现，下文主要讨论约束方式（长度系数 ）对临界承载力的影响。
▲图1
如图1所示的边界条件不同的两种刚架，竖直细长杆AB受轴压，C端分别为滑动铰支和固定铰支。对于不同约束方式，压杆AB的长度系数不同，进而使用欧拉公式开展临界承载力计算时得到不同的失稳荷载。
首先，针对不同约束方式下刚架中的压杆长度系数进行定性分析说明。对于图1a，BC段为B端提供弹性转动约束而不限制平动。若将B接头换成铰链(相当于BC段刚度为零)，则B端自由，AB杆长度系数 ;若BC段为刚体，则B端转角为零可平动，AB失稳模态反对称，相当于长为 的一端固定一端自由细长杆受压失稳( )。于是，图1a刚架中压杆AB的长度系数 应大于1小于2。对于图1b，B端受到弹性转动约束且不能平动。若将B节点换成铰链，则相当于一端固定一端铰支( );若BC段为刚体使B端转动为零，则相当于两端固定( )。于是，图1b刚架中压杆AB的长度系数 应大于0.5小于0.7。
▲图2
其次，分别对上述两类压杆的临界荷载采用有限元方法计算，并折算长度系数可得 和 ，计算结果与上述定性分析一致，进而证明压杆约束方式对失稳临界荷载有显著影响。若约束形式为图2所示，则临界承载力进一步增加。
▲图3
图1a的有限元模型如图3所示。弹性刚度矩阵和几何矩阵的推导参考
采用先处理法，得到2个单元弹性刚度矩阵分别为
由于单元2没有轴向力作用，因此，单元2几何矩阵忽略不计
整体弹性刚度矩阵为
整体几何矩阵为
由
得
其中 ，在MATLAB中求特征值与特征向量的代码如下
A = [6,3,0;
3,4,1;
0,1,2];
B = [12, 1, 0;
1, 1.33, 0;
0, 0, 0];
[X,D] = eig(A,B)
% D是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。
D中最小的值是0.304，则
