有限元 | 图形的平移有一点复杂

有限元分析后处理涉及计算机图形学，以二维梁单元为例，其变形和内力是基于杆的位置    的函数    ,由一系列的离散点组成矩阵

绘制平面刚架的变形图和内力图的过程是：以划分的单元为基础逐个完成。在画某一单元的变形或内力图时，通常是以该单元起点为总体坐标系的坐标原点，杆轴沿着总体坐标系的    轴正方向，杆轴上的离散点便是矩阵A的第一行，离散点对应的函数值    便是矩阵A的第二行。

▲图1

矩阵A要通过缩放、旋转、平移操作，使之回到对应的位置上去，即图形与局部坐标一致。对于图1中的单元1，则需要作旋转操作(RA)，而单元2则需要作平移操作(TA)。缩放操作则根据图形是否协调适当考虑。

定义缩放矩阵

旋转矩阵

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def main():
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']    # 这个字体能够支持中英文字符
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False      # 正常显示负号


    # 平面刚架
    x = [0, 3, 6]
    y = [0, 4, 4]

    xx = np.linspace(0, 5, 10)      # 梁划分为10个小段
    # 每一个离散点的弯矩值
    m = [0.0,-0.395, -0.690, -0.887, -0.985,-0.985,-0.887, -0.690, -0.395, -0.0]

    # 旋转矩阵
    R = np.array([[0.6, -0.8],[0.8, 0.6]])

    # 旋转变换
    Rxy = R @ np.vstack( (xx,m) )
    
    # 绘制刚架图
    fig, (ax0,ax1) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True,
                                    figsize=(8, 4))
    # 绘制刚架图
    ax0.plot(x, y)

    # 绘制单元1未旋转时的弯矩图
    ax0.plot(xx,m)
    ax0.set( title='旋转前的弯矩图')

    # 绘制单元1旋转后的弯矩图
    ax1.plot(x, y)
    ax1.plot(Rxy[0,:], Rxy[1,:])
    ax1.set( title='旋转后的弯矩图')

    fig.savefig("z1.png",dpi=300)
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

▲图2

对于平移来说，按照上述思路，定义平移矩阵

却达不到预期效果。比如将一个点    往右平移2，往上平移2，得到新的位置    ，但是，通过平移矩阵计算

也就是说，仅凭一个    矩阵是做不到的。

▲图3a

▲图3b

▲图3c

如图3a所示，将平面矩形增加一个维度，成为长方体。这个长方体发生剪切变形，如图3b所示。这个过程在数学上称为剪切变换，所用到的矩阵称为剪切矩阵。然后将三维图形投影到二维平面，即实现了原图像的平移，如图3c所示

因此，需要扩充A矩阵，即增加一行

则二维图形的平移矩阵

经过矩阵乘法运算    后，再去掉    的第三行，即平移后的图形。这里第三行无实际意义，仅作为辅助计算。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def main():
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']    # 这个字体能够支持中英文字符
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False      # 正常显示负号


    # 平面刚架
    x = [0, 3, 6]
    y = [0, 4, 4]

    xx = np.linspace(0, 3, 10)      # 梁划分为10个小段
    # 每一个离散点的弯矩值
    m = [0.0,-0.395, -0.690, -0.887, -0.985,-0.985,-0.887, -0.690, -0.395, -0.0]

    
    ones = np.ones(10)
    # 矩阵A增加维度，即第三行全为1
    A = np.vstack( (xx,m, ones) )
    # 平移矩阵
    T = np.array([[1, 0,3],[0, 1, 4], [0,0,1] ])

    # 平移变换
    Txy = T @ A
    
    # 绘制刚架图
    fig, (ax0,ax1) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True,
                                    figsize=(8, 4))
    # 绘制刚架图
    ax0.plot(x, y)

    # 绘制单元2未平移时的弯矩图
    ax0.plot(xx,m)
    ax0.set( title='平移前的弯矩图')

    # 绘制单元2平移后的弯矩图
    ax1.plot(x, y)
    ax1.plot(Txy[0,:], Txy[1,:])
    ax1.set( title='平移后的弯矩图')

    fig.savefig("z2.png",dpi=300)
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

▲图4

为了方便编程，将三种矩阵统一定义成    形式。

缩放矩阵

旋转矩阵

如果是三维图形，则需要将三种矩阵统一定义成    形式。