寿命预测 SCI一区论文学习 |基于非参数退化模型和不完全数据的锂离子电池剩余使用寿命预测

本期分享发表于一区Top期刊RESS的论文，基于非参数退化模型和不完全数据的锂离子电池剩余使用寿命预测。针对实际应用中监测数据存在的数据稀疏或碎片化问题，文章提出了一种非参数化退化建模方法，通过函数主成分分析（FPCA）技术，自动构建由退化数据驱动的状态依赖型退化模型，将RUL预测问题转化为迭代优化问题。通过丰田-MIT-斯坦福电池实验数据验证表明提出的方法能提供更准确可靠的预测结果。

论文基本信息

论文题目：Remaining useful life prediction of lithium-ion battery with nonparametric degradation modeling and incomplete data

论文期刊： Reliability Engineering and System Safety

论文时间：2025年

作者： Naipeng Li （a）, Mingyang Wang （a）, Yaguo Lei （a）, Bin Yang （a）, Xiang Li （a）, Xiaosheng Si （b）

机构：a: Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049, China;

b: Zhijian Laboratory, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China.

论文下载：https://doi.org/10.1016/j.ress.2024.110721

摘要

准确可靠地预测电池剩余使用寿命（Remaining Useful Life, RUL）对保障电池安全运行至关重要。现有大多数RUL预测方法都依赖完整密集的监测数据，但在实际应用中，监测数据往往存在不完整性——即数据稀疏或碎片化，特别是在复杂严苛的工况下，这给电池RUL预测带来了巨大挑战。我们前期研究提出了一种非参数化退化建模方法，专门用于处理碎片化数据的RUL预测问题。其核心思路是通过函数主成分分析（Functional Principal Component Analysis, FPCA）技术，自动构建由退化数据驱动的状态依赖型退化模型。该方法将RUL预测问题转化为迭代优化问题。本文进一步完善了这一非参数化退化建模方法，并将其应用于锂离子电池在数据不完整情况下的RUL预测。主要改进包括：在梯度下降优化过程中引入新的伪Huber损失函数以提升RUL预测精度；提出结合贝叶斯更新的迭代优化算法来估计函数主成分（Functional Principal Component, FPC）分数分布，从而提供RUL的不确定性估计而非仅给出点估计值。通过丰田-MIT-斯坦福电池实验数据对所提方法进行验证，结果表明该方法相比其他预测方法能提供更准确可靠的预测结果。

关键词：

目录

    2.2 离线训练

    2.3 在线预测

近年来，针对锂离子电池（LIBs）的循环寿命预测方法已发展出多种，主要分为两大类：基于模型的方法和数据驱动方法[6,7]。其中，基于模型的方法主要通过构建电化学模型[8,9]或等效电路模型[10,11]来预测电池的劣化行为。这类模型具有较强的可解释性，能够准确描述电池内部的电化学反应过程。但其存在明显局限：首先需要预先掌握电池工作原理，其次由于实际应用中存在非线性电化学过程、多重劣化机制及复杂运行条件，要构建全面精准的模型极具挑战性[12]。

数据驱动方法通过机器学习或统计分析技术，无需预先掌握作用机制即可从历史数据中构建降解模型。支持向量机（Support Vector Machine， SVM）[13,14]和深度神经网络（Deep Neural Networ， DNN）[15–17]等机器学习技术具有高度灵活性，在RUL预测中表现良好。例如，张等人[17]提出了一种深度学习方法，用于预测电动飞机所用锂离子电池的荷电状态（State of Charge, SOC）。该方法将AI技术整合到电动飞机电池的预测与健康管理中，标志着电动航空智能化发展迈出重要一步。但大多数机器学习方法仅能提供RUL的点估计值，无法描述预测结果的不确定性。为此，学界已开发出多种统计方法，例如维纳过程[1,18]、伽马过程[19]、逆高斯过程[20]等。这些方法属于参数化建模技术，需要选择合适的函数形式来描述退化行为[21]。然而，退化过程本身具有动态性和复杂性，这给精确匹配函数的选择带来了重大挑战[22]。

为避免手动构建模型，非参数建模技术因其灵活性优势备受关注。这类技术能直接从历史数据中自动构建构建模型。主要非参数劣化建模方法包括高斯过程（Gaussian Process, GP）回归、样条函数回归和函数主成分分析（Functional Principal Component Analysis, FPCA）等。高斯过程回归将劣化过程描述为遵循联合高斯分布的随机变量集 合[23,24]。样条函数回归通过组合常用正弦基函数和B样条基函数等基函数来构建劣化曲线[25]。 FPCA 是主成分分析处理函数数据的改进版本[26-29]，其核心思想是将退化轨迹分解为均值函数、可分解为正交函数主成分（Functional Principal Components, FPCs）及其对应 FPC 分数的偏差函数，以及噪声项的叠加[30]。

目前常用的非参数化电池性能衰减建模方法需要对反映电池性能的健康指标进行完整密集的监测。但对于LIB而言，其直接健康指标——放电容量——必须通过完整的充放电循环才能获得，但在实际应用中往往难以实现[3]。因此，每个充放电循环都难以获取精确的放电容量数据，导致数据存在缺失[31]。这类缺失数据可分为两类：稀疏数据和碎片化数据。如图1(a) 所示，稀疏数据表现为在离散时间点间歇性观测到的少量数据点。由于LIB的设计寿命较长，其性能衰减过程通常较为缓慢，因此在漫长使用寿命期间持续监测需要耗费大量时间。为此，实际应用中常采用稀疏采样策略。此外，考虑到网络带宽和存储容量等限制因素，制造商通常会以稀疏格式将电池数据传输至工业云系统[32]。碎片化数据的显著特征在于，整个LIB生命周期中仅记录随机观测片段，如图1(b) 所示。这种现象主要源于传感器故障或数据传输中断。例如，电动汽车因成本限制采用带宽受限的控制器局域网（Controller Area Network, CAN）进行数据交换。高频数据传输可能导致网络拥塞和数据中断[33]。

图1 两种不同类型不完整数据的示例：(a) 稀疏数据，(b) 片段数据。

在利用不完整数据构建LIB退化模型时，主要障碍之一是无法从历史数据中确定退化过程的函数形式，这会显著影响参数化建模方法的预测准确性[34]。此外，常用的非参数化方法通过将健康状态或其代理指标作为时间函数来建立退化模型。但由于电池整个生命周期内数据都是随机采样，因此无法从不完整数据记录中确定退化时间尺度。这使得时间依赖型退化建模方法在此场景下难以应用。李等人[29]提出了一种基于两步轴变换的依赖状态退化建模方法来解决这些问题。该方法将剩余寿命预测问题转化为迭代优化问题，通过多维度数据变换实现精准建模。RUL预测值通过匹配观测数据与模型估计值进行优化。该方法采用平方误差和（Sum of Squared Errors, SSE）作为损失函数，但未考虑异常值对预测精度的影响。此外，该方法仅提供点估计值，无法量化预测结果的不确定性。针对上述两个问题，本文进一步改进了状态相关性劣化建模方法，并将其改进版本应用于LIBs在稀疏数据和碎片数据条件下的RUL预测。与现有大多数数据驱动方法不同，本文采用两步轴变换技术将退化数据映射到状态相关坐标系，有效解决了当前方法在处理不完整数据时难以准确捕捉劣化时间的难题。随后，通过基于 FPCA 的非参数建模技术构建了退化模型。相较于传统基于模型的方法，本方法无需依赖先验知识，既实现了模型构建的灵活性，又避免了预设函数形式的束缚，从而在实际应用中展现出更强的适应性和扩展性。模型构建完成后，通过结合贝叶斯更新的迭代优化算法，可实现在线预测电池剩余寿命（RUL），最终达成电池健康状态的动态监测与精准寿命预测。具体而言，本文基于文献[29]的核心改进点可归纳为以下内容：

1)基于伪Huber损失函数，我们为迭代优化过程构建了一个新的目标函数。相较于SSE损失函数，这个函数对异常值具有更强的鲁棒性，能提供更精准的RUL预测结果。此外，与SSE相比，它能有效避免因SSE中较大误差导致的剧烈梯度波动。这种特性不仅提升了梯度优化过程的稳定性，还能防止模型过度受异常值影响，使其特别适用于数据噪声和异常值普遍存在的实际应用场景。

2）我们开发了一种结合贝叶斯更新的迭代优化算法，用于估算 FPC 评分的分布。与现有RUL预测方法不同，该方法将预测问题转化为迭代优化问题，使预测过程更加直观。同时，该算法充分考虑了 FPC 评分的随机性特征。基于估算的 FPC 评分分布，我们采用自助法近似计算RUL的概率密度函数（Probability Density Function，PDF），这种量化预测不确定性的方法在维护决策中具有显著优势，而文献[29]仅能提供RUL的点估计值。

3)本研究系统探讨了两种不完整数据类型——稀疏数据与片段数据，并对其进行了系统性分析。该方法充分考虑了不同类型数据不完整性的独特特征，即使在处理高度稀疏或片段数据时，仍能保持较高的预测精度。相比之下，我们先前的研究[29]仅专注于片段数据处理，未涉及稀疏性带来的挑战，而本文提出的方法在应对各类不完整数据场景时更具全面性。通过实验验证，该方法在这两种场景下的有效性得到了充分证明。

本文其余部分安排如下：第2节介绍针对数据不完整锂离子电池的剩余使用寿命预测方法；第3节采用丰田-MIT-斯坦福数据集验证该方法；第4节总结全文。

在本节中，我们提出了一种基于 FPCA 的预测方法，用于处理数据不完整的LIBs。图2概述了所提出方法的流程图，该方法由三个过程组成：数据预处理、离线训练和在线预测。首先，采用两步轴变换技术对监测数据进行预处理，并将RUL重新表述为状态依赖函数。在离线训练过程中，基于历史数据使用 FPCA 技术构建降解模型。然后，在在线预测过程中，开发了一种迭代优化算法来估计 FPC 分数的后验分布。最后，通过自助法预测RUL的概率密度函数。每一步的具体细节将在下文中介绍。

图2 基于 FPCA 的预测方法流程图

2.1 数据预处理

假设我们已经收集了    个故障单元的放电容量观察数据。对于第    个单元，记录了放电容量序列    及其相关的时间序列    ，其中    表示样本总数。这些故障单元的放电性能已低于预设的故障判定标准。在多数情况下，该标准设定为放电容量降至初始值80%以下时触发的性能退化阈值[3]。通常，故障单元的寿命终止时间戳（记为    ）可通过历史维护日志或事件记录追溯。

1）时间变量转换

在数据不完整的情况下，通常无法获取退化过程的初始时间，这给时间依赖性退化建模方法带来了相当大的障碍。为解决这一挑战，我们采用了一种时间变量转换方法。鉴于每个失效单元的    已知，可计算每个观测值对应的RUL，即    。由此，时间被转换成了剩余寿命RUL。

2.2 离线训练

其中      是所有单元退化数据的潜在平均趋势，    表示单元      与平均趋势的偏差，是均值为零，协方差      的随机变量。     是一个均值为零、方差为     的噪声项，假设其与     独立。值得注意的是，上述状态依赖模型仅适用于退化曲线呈现单调行为的情况。然而，在存在噪声数据时，这一假设可能不成立。为了确保单调性，可以在数据预处理前使用单调基函数对噪声数据进行平滑处理。

根据Karhunen-Lo‘eve定理[26]，    可展开为：

其中    对于    为 FPC 分数，具有以下性质    。

在实际应用中，只有前几个FPC定义了偏差变化的最重要部分。因此，我们在第    个分量处截断等式(3)。等式(1)进一步重新表述如下：

2） 模型各成分的估计

均值函数    根据可用的不完整数据使用局部线性平滑器[26]进行估计。    通过最小化以下项来进行估计：

其中     是一个带宽为     的核函数，通常选择高斯核函数。然后，     的估计值    。

令    。已知     和    相互独立，因此协方差函数具有以下关系：

其中    是带宽为    的对偶核函数。因此，    的估计为    。

方差函数    也可以通过使用局部线性平滑器来估计：

其中    是    的对角线曲线。    的估计值为    。

方差    可近似为：当时，计算公式为：    ；否则为0。

通过求解以下方程可估算特征函数及相应特征值：

在实际应用中，我们建议选用前    个函数主成分，其累计贡献率需超过98%。

2.3 在线预测

1） FPC分数更新

为了模拟在役机组的退化过程，准确估计 FPC 分数至关重要。理论上，FPC 分数可以通过    求解。然而，不完整数据不足以准确估计 FPC 分数。为解决这一问题，开发了一种结合贝叶斯更新的迭代优化算法来更新 FPC 分数。

我们首先忽略 FPC 分数的随机性，将其视为一系列 确定的值。根据等式(4)可知，RUL     服从正态分布    ，其中    ，     是观测时间戳。     ，    ，其中      。

令    ， FPC 分数的估计为：

假设我们有一个在役单元，其放电容量观测值不完全，记为     和时间戳      。由于在役单元的放电容量仅部分退化，因此未记录到失效时间    。因此，真实的剩余使用寿命 RUL 无法获得，这实际上是我们预测任务的主要关注点。

显然，    对于    总是成立的。因此，每个观察点的RUL与最新时间戳的RUL直接对应：

其中    表示最新时间戳的RUL，该变量需进行预测。

令    ，并将其代入等式（11）。 FPC 分数的估计值可作为依赖于    的函数确定。

因此， FPC 分数更新问题转化为一个优化问题，即寻找最优的    以实现    与估计的    之间的最接近匹配。这里，    表示实际观察到的退化轨迹，而 RUL 预测的任务集中在确定其在坐标系中的垂直位置。    是通过计算 FPC 分数获得的估计轨迹。迭代优化过程专注于在坐标系内不断调整估计曲线相对于观察曲线的垂直位置，以最小化两者之间的误差。这种方法能够精确定位    ，从而有助于准确估计 RUL。

然而，真实数据中常存在噪声和异常值，而SSE损失函数对这些异常值一视同仁，导致平方运算使误差贡献被夸大，从而可能扭曲预测精度。相比之下，伪Huber损失函数[37]提供了一种更稳健的处理异常值的方法，并在多个重要方面优于SSE：

<1> 从物理特性来看，伪Huber损失函数在保持小误差拟合精度的同时，对大误差的敏感度较低。这种对异常值的鲁棒性在降解数据分析中至关重要，因为降解数据中常存在噪声或极端值，而伪Huber损失函数能更准确地捕捉潜在的退化趋势。

<2> 数学上，伪Huber损失函数定义为：     ，其中      表示误差，     是控制平滑度的超参数。对于接近零的误差，伪Huber损失函数的表现类似于均方误差（MSE）损失；而对于较大的误差，则接近均绝对误差（MAE）损失。这种平衡使其非常适合具有显著噪声的复杂数据集，该损失函数既能精确拟合微小偏差，又能在面对显著偏差或异常值时保持稳健性。

在此，我们基于伪Huber损失函数构建目标函数。该函数对异常值具有鲁棒性，并且在接近零时平滑，这有助于减少优化过程中的振荡，特别是在梯度下降算法中。设    。目标函数的表述如下：

其中      是控制目标值周围损失函数平滑度的超参数。

RUL的先验估计可通过梯度下降算法确定。迭代方案如下所示：

其中，    ，     。

迭代优化过程的初始值    被设置为零。当    或迭代步数时，迭代停止。这里，    表示收敛精度，     表示最大迭代步数。目标函数通过迭代最小化得到最优的    ，该值可用于等式（11）中推导 FPC 分数的估计。

为了量化预测结果的不确定性，需要考虑 FPC 分数的随机性。假设 FPC 分数服从正态分布。 FPC 分数的先验分布    为    ，其中    是一个    的向量，元素为零，    。给定第    个单位的观测值，可以使用以下贝叶斯更新理论来更新先验分布：

    是    关于    的条件分布，其服从正态分布    。    的后验分布为正态分布    ，其中

2）RUL估计的PDF

在实际应用中，RUL 的点估计无法为锂离子电池的预测性维护提供可靠且科学的指导。相比之下，RUL 的概率密度函数在预测任务中起着关键作用，因为它可以量化预测中的不确定性。本文中，我们提供了一种基于 FPC 评分分布的自助法 [34] 来估计 RUL 的概率密度函数。具体步骤如下：

首先，从上述提供的 FPC 分数分布中抽取样本     ，    。

然后，为每个 FPC 分数样本生成一个模拟的退化轨迹，具体如下：

最后，获得了一系列采样的RUL值    。由于RUL的概率密度函数遵循正态分布，可以使用基于这些采样值的最大似然估计算法计算该分布的参数，即均值和方差。因此，可以得到RUL的概率密度函数。此外，RUL的    置信区间（Confidence Interval, CI）可以近似为    ，其中L    和    ，使用经验的    和    分位数。

3.1 实验数据介绍

本节中，我们使用了一个基准实验数据集来验证所提出的方法。该数据集由丰田、麻省理工学院和斯坦福大学提供，包含标称容量为1.1Ah的磷酸铁锂（LFP）电池的退化数据[38]。

数据集根据不同的快速充电协议分为三个批次。具体来说，我们选择了标记为“2018-04-12”的批次来验证我们提出的方法。由于实验过程中处理不当，部分电池提前终止。因此，我们排除了异常电池数据，保留了能够准确反映实际情况的数据。总共使用了25个电池数据。 在这25个电池单元中，随机选取20个单元构建退化模型。其余单元作为在役单元，用于评估我们方法的预测准确性。为了评估我们方法在不同不完整数据场景下的性能，我们模拟了包括稀疏数据场景和片段数据场景在内的不同不完整数据组。

1)在稀疏场景中，我们以四种缺失率（75%、80%、85%、90%）对每个单元进行稀疏采样观察。例如，90%表示从每个单元中随机删除90%的观测值，剩余10%的观测值可用于模型训练。

2)在片段数据场景中，以不同缺失率（10%、20%、30%、40%）删除连续数据段。对于片段数据，剩余部分由一至两个连续数据段组成。

稀疏数据与碎片化数据的代表性样本分别如图3(a) 和(b)所示。对于在役设备，放电容量的退化起始值为区间[1.04 Ah，1.06 Ah]内的随机值。

图3 训练单元的电池退化数据：(a) 缺失率为90%的稀疏数据，(b) 缺失率为40%的片段数据

3.2 离线训练流程演示

为了构建状态依赖的退化模型，原始数据通过第2.1节中描述的两步轴变换进行预处理。图4显示了预处理后的数据，其中    轴表示健康状态，    轴表示RUL。可以使用预处理后的数据推导出均值函数、协方差函数    和方差函数    。然后，可以求解    的特征函数和特征值。我们以缺失率为40%的片段数据为例。协方差函数    及其对应的方差函数    的估计结果如图5(a) 所示。通过观察可以发现，方差曲线的显著部分超出了协方差曲面的对角线。这表明测量噪声导致的方差与协方差存在本质区别——通过剔除估计值中的对角线元素即可区分。图5(b) 展示了前两个特征函数（即函数主成分，FPCs）及其对应的占比。FPC1呈现渐进式衰减趋势，可解释95.77%的变分，成为方差的主要来源。根据预设标准，我们选取前两个FPCs，其合计解释了超过98%的变分。

图5 FPCA 的估计值：(a)协方差和方差函数，(b)前两个 FPC 函数

3.3 在线预测过程演示

模型构建完成后，根据在役单元的观察数据获得RUL。使用第2.3节中开发的迭代优化算法估计 FPC 分数的后验分布。基于首次预测时间（First Prediction Times, FPT）[1,39]的 FPC 分数更新分布预测RUL概率密度函数。为了便于统计分析预测结果，当每个单元的实际RUL达到200个周期时，开始进行RUL预测。RUL及其随退化过程的预测将持续到    ，间隔为20个周期。图6展示了第一个测试单元在不同不完整度数据情景下的RUL概率密度函数及其期望值。具体而言，我们以丢失率为90%的稀疏数据情况和丢失率为40%的片段数据情况为例。从结果可以看出，随着有更多的退化数据可用，预测的RUL的期望值逐渐接近实际的RUL。同时，RUL的分布随着操作时间的推移逐渐收敛，这表明结果的不确定性变小，精度变高。

图6 测试单元1在不完整数据场景下的RUL预测：(a) 缺失率为90%的稀疏数据，(b) 缺失率为40%的片段数据

3.4 RUL预测结果的比较

为了展示所提出方法的优越性，本节选择了四个比较方法。方法1也是一种依赖状态的非参数方法，通过两步轴变换实现[29]。但它忽略了 FPC 分数的随机性，只能提供RUL的点估计值。此外，方法1的目标函数基于SSE损失函数构建，容易受到异常值的影响，有时会导致优化算法收敛速度变慢。方法2是一种基于 FPCA 的非参数方法，同样将退化过程建模为依赖状态的模型[36]。但其时间尺度仍然是退化时间，没有考虑在数据不完整的情况下降解过程初始时间的损失。方法3是一种最先进的参数化方法[40]，考虑了降解过程的单元间变异性。通过计算预测RUL的绝对误差（Absolute Error, AE）来评估预测准确性。我们提出的方法、方法1、方法2和方法3的结果分别展示在图7和图8中。

图7 采用四种不同方法在稀疏数据缺失率为90%的情况下对RUL的预测误差：(a)所提出方法，(b)方法1，(c)方法2，(d)方法3

可以看出，我们提出的方法在四个方法中具有最小的预测误差中位数和方差。随着RUL的减少，我们方法的预测结果变得更加准确和稳定。方法1忽略了 FPC 分数的随机性，只能提供RUL的点估计值。方法2的一个缺点是它仍然使用原始时间尺度来描述退化过程，由于缺乏退化过程的初始时间，观察时间并不能准确代表退化时间，导致退化建模过程中的偏差。方法3由于函数形式估计不准确和缺乏退化时间，表现最差。

为了进一步分析缺失率对RUL预测准确性的影响，我们使用了两个指标，即MAE和均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）[41]。图9展示了在不同缺失率下五个测试单元获得的MAE和 RMSE 。比较分析表明，我们提出的方法在各种不完整数据场景中始终优于其他方法，展现出更高的预测准确性和稳定性。

图9 四种方法在不同场景下的预测结果：(a)稀疏情况下的MAE值，(b)片段数据情况下的MAE值，(c)稀疏情况下的 RMSE 值，(b)片段数据情况下的 RMSE 值

为了处理不完整的数据，本文提出了一种基于FPCA的预后方法来预测LIB的RUL。为了解决不完整数据场景下退化过程初始时间缺失的问题，开发了一种数据预处理技术，将RUL重新表述为状态相关函数。基于FPCA构建了一个非参数退化模型，可以在应用过程中消除对微调参数或经验预定义模型的需要。此外，本文开发了一种结合贝叶斯更新的迭代优化算法来更新FPC分数的分布。最后，开发了一种引导方法来量化预测结果的不确定性，这可以为预测性维护提供比点估计更可靠的信息。使用电池退化数据集评估所提出方法的预测结果。综合分析表明，相较于其他典型非参数建模方法和前沿参数化方法，本文提出的方法在精度方面具有显著优势。

该方法在不同缺失率下保持高度稳定，能够捕捉跨单元的性能退化规律，特别适用于各类电池的RUL预测。其核心优势在于强大的适应性，可灵活处理多种退化行为模式。更重要的是，该方法能量化RUL的不确定性，有效提升预测性维护水平，具备良好的实际应用价值。

尽管该方法效果显著，但其主要局限在于仍需通过完整的充放电循环来获取电池健康指标，这限制了其在实时应用中的实用性——因为完整充放电数据并非总能获取。未来研究可重点开发基于部分充放电数据的电池健康评估技术，从而提升该方法在动态现实场景中的适用性。 

编辑：Tina

校核：李正平、陈凯歌、曹希铭、赵学功、白亮、任超、海洋、陈宇航、陈莹洁、赵栓栓、王金、赵诚、肖鑫鑫、张优

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