两机叶片丨南航&北航：航空发动机复杂叶片碰摩仿真方法与动力学特性分析

风扇、压气机及涡轮叶片是航空发动机中承担能量交换作用的关键件，其本身处于严酷的工作环境之下。另外，由于发动机对气动效率的极高要求，叶片与机匣在巡航状态下接近零间隙设计，而发动机转速工况多变、受力状态复杂，工作过程中不可避免的出现叶片与机匣配合间隙的改变。这将大大提升叶片碰摩的可能性，进一步恶化叶片的工作环境，引起叶片损伤并导致结构失效，严重影响航空发动机安全性，甚至导致严重的飞行事故。受发动机叶片弯掠构型、转子非同步涡动以及碰摩局部化影响，使得实际发动机叶片碰摩响应极为复杂。因此深入研究发动机叶片的碰摩振动特性与动力学行为具有重要的理论与工程价值。

本质上，碰摩是涵盖多物理场、多尺度和非光滑特征的复杂力学问题，转子系统的复杂运动特性也会影响叶片的碰摩行为。为了仿真叶片碰摩时的复杂振动特性，首要问题是建立一个能准确描述叶片特征和碰摩力学过程的分析模型。学者们对于碰摩的研究始于圆盘和固定元件之间的相互作用问题。Li等，杨洋等研究了转子系统与定子之间的接触碰摩问题，分析了碰摩中存在的摩擦、冲击、刚化和强耦合等物理现象。上述转子碰摩研究中，碰摩力多基于简化线弹性碰摩模型，为考虑叶片对碰摩力的影响，许多学者基于梁、板理论分析了叶片-机匣相互作用时的碰摩力规律。Sinha等建立了旋转梁系统，指出碰摩力是一种周期性脉冲性质的正弦、余弦函数。Ma等进一步考虑叶片/机匣变形、离心旋转效应，在弹性小变形假设和能量守恒原理指导下推导了弹性叶片碰摩法向力模型。然而，这些模型推导多基于准静态假设，不能考虑叶片动态特性，且无法考虑实际发动机叶片的弯扭复杂构型。

近年来，越来越多学者面向实际发动机复杂叶片，基于三维叶片实体有限元法开展碰摩研究。肖贾光毅等以复合材料铺层叶片为对象，研究了其碰摩振动响应，发现铺层对中低转速下的碰摩响应影响较大。陈大玮等研究了宽弦风扇叶片参数化建模，并利用碰摩动力学研究了叶片造型对于机匣碰摩振动的影响规律；Batailly等基于NASA Rotor 37建立了叶片-机匣碰摩的数值仿真方案，比较了不同叶片弯掠方式下系统碰摩动力学特性，为叶片造型设计提供了重要参考。Xiao等基于碰摩接触动力学建立了全三维叶片-柔性机匣碰摩动力学模型，分析了叶顶间隙分布与叶片造型等特征参数对碰摩响应特性的影响。上述叶片碰摩研究中，主要侧重于分析叶片-机匣之间的热效应与磨损特性，或是叶片和机匣的耦合振动，往往忽略了转子系统的运动特性。

事实上，对于具有高度非线性特征的叶片碰摩问题，转子的运动也将很大程度地影响到叶片的碰摩行为。Wu等建立了考虑叶片变形的轴-盘-叶片-机匣系统研究了耦合振动对涡动的影响。Yang等建立了含叶片滚动轴承-转子系统的动力学模型，研究了非均匀间隙对碰摩动力学行为的影响，并关注了转子的横向振动特性。Miao等提出了一种考虑Hirth联轴器连接的中央拉杆转子叶片-机匣-联轴器碰摩故障分析模型，分析了非连续转子、旋转叶片和机匣系统的碰摩特性。然而，以上模型对转子涡动过程中叶片的力学效应考虑不全面，特别是多忽略了非协调涡动过程中转子叶片受到的惯性激励作用。

综上所述，尽管转静碰摩问题一直以来是发动机结构动力学中的研究热点，但这些研究多以转子碰摩为主，面向实际发动机复杂构型叶片碰摩问题，尚存在如下不足：一是工程中发动机具有复杂运行特点，发动机叶片多在叶尖局部如前缘或尾缘部分区域发生碰摩，且碰摩载荷具有空间分布特征，但相关动力学问题并未得到充分关注；二是发动机转子具有复杂涡动特征，叶片在随转子涡动过程中受到不可忽视的惯性激励，其对叶片振动特别是叶片碰摩响应的影响尚不清晰。此外，目前还缺乏能够考虑转子涡动影响的复杂构型叶片碰摩仿真分析技术。

有鉴于此，本文针对航空发动机实际叶片复杂结构特征，通过三维有限元理论与减缩技术获得复杂叶片实体降维模型；考虑叶尖局部碰摩特点和转子涡动影响，利用空间运动关系推导获得碰摩力与惯性激励载荷模型；基于结点自由度关系形成复杂叶片碰摩动力学方程，进而建立可考虑转子涡动影响的复杂构型叶片碰摩仿真方法。在此之上，针对某发动机压气机叶片，研究不同位置、转子涡动及不同特征参数的叶片碰摩行为及振动响应特征。

本文结构如下：第一章基于航空发动机实际叶片空间弯扭构型推导了考虑转子的涡动时叶片在复杂接触条件下的三维摩擦力模型，并推导叶片由叶盘涡动产生的惯性力。将碰摩力、惯性力与叶片的动力学矩阵相结合获得碰摩动力学方程；第二章基于模型减缩技术和数值积分方法建立了碰摩响应非线性求解方法；第三章针对某实际叶片模型讨论了不同叶尖碰摩位置，不同叶盘涡动形式和不同关键参数对该叶片碰摩行为的影响；第四章中提出了一些结论。

如图1所示的大涵道比涡扇发动机，风扇、压气机及涡轮叶片均容易发生叶片碰摩。图中给出了航空发动机压气机叶片的结构示意图，几何上而言，叶片具有复杂空间造型，机匣直径沿轴向变化，叶片与机匣相对位置关系具有空间分布特征；同时，发动机工作时，叶片和机匣受瞬态和稳态载荷综合作用，还具有复杂变形。

图1 航空发动机结构与叶片复杂构型示意图

在这两方面综合影响下，实际发动机叶片与机匣之间的碰摩相互作用亦具有空间分布特征，即叶尖上任一点位置与机匣的碰摩状态会有所不同，容易发生仅叶尖局部区域如前缘或尾缘与机匣碰摩的情形。

本文为更精确地反映实际碰摩接触过程，考虑叶片复杂弯掠构型叶片及转子涡动，根据叶片的空间位置关系建立叶片碰摩动力学模型。

1.1 碰摩力模型

图2所示为叶片与机匣结构参数及相关坐标系。定义x-y-z-0为全局固定坐标系；x_R−y_R−Z_R−O_R为全局旋转坐标系；x_r−y_r−Z_r−O_r为局部旋转坐标系。叶片与机匣结构参数包括机匣半径R_c(z)、轮盘半径R_d(z)以及叶身长度L(z)，z代表轴向坐标，后续推导中为简化表达将省去自变量z。

图2 叶盘和机匣主要结构参数与坐标定义

将碰摩考虑成面-面碰摩的形式，定义k_c为单位面积碰摩刚度。根据式(5)的位置关系，可以得到无穷小单元的碰摩压力载荷P_n:

式中：n为全局固定坐标系下该叶尖微元与机匣在接触点处的单位法向量。碰摩的切向压力载荷P_t根据库伦摩擦定律得到，表达式如下：

根据碰摩法向压力载荷和切向摩擦载荷表达式，进一步可得到叶尖微元在全局固定坐标系下所受到碰摩载荷的三个分量P_x,P_y和P_z。

1.2 惯性载荷模型

当叶片随转子涡动时，其存在非惯性运动，此时叶片除可能受到的碰摩载荷外，还必然受到惯性载荷，转子涡动形式不同，惯性载荷特征也不同，叶片变形状态也有所不同，进而从不同程度上影响到碰摩行为。为此进一步推导由于转子涡动导致的惯性载荷模型。

1.3 惯性载荷模型

图4 叶片有限元模型

对于复杂构型叶片,采用实体有限元方法建立其动力学模型。图4所示为某发动机实际叶片有限元模型，该叶片为小展弦比复杂构型叶片,即叶身截面自然扭转,积叠线空间分布,重心和弯曲重心不重合。实际压气机结构中轮盘刚性通常很强，故本文不考虑叶盘耦合振动的影响，将叶片的叶根截面结点进行全约束。该有限元模型用10结点四面体SOILD187单元划分。材料为1Cr11Ni2W2MoV,其密度、杨氏模量和泊松比分别为4.5×10⁻⁹t/mm³、1.11×10⁵Mpa和0.3。基于实际叶片有限元模型，可以得到叶片的动力学方程如下：

式中：M,K和F为质量，刚度矩阵和外力向量，采用瑞利阻尼形式确定阻尼矩阵C。在考虑旋转带来的离心刚化效应后，叶片的刚度矩阵将发生变化。为了避免不同转速下刚度矩阵的重复运算，在考虑转速范围[0,ω_max]内可利用多项式对刚度矩阵K进行拟合。

式中：A_ei为相应单元i在叶尖区域的面积。求解叶尖处任意单元的碰摩载荷，需要提前得到该单元的振动位移。取单元结点位移的平均值作为单元位移，如式(21)所示：

对于采用实体有限元法建立的复杂叶片模型，其通常包含数以万计的自由度，是典型的具有大规模自由度的高维动力学系统。对于这类高维动力学系统，开展非线性分析时通常存在计算耗时、计算稳定性差等问题。为此必须对动力学模型进行降维，并建立适用于降维模型的载荷施加方法。

2.1 模型减缩

基于固定界面模态综合法对复杂叶片动力学矩阵进行缩减降维，Γ为从物理坐标到模态坐标的变换矩阵，模态坐标下的位移向量表示为q，对式(19)所示的动力学方程进行降维：

2.2 计算流程

根据前述叶片动力学模型、碰摩模型和惯性载荷模型，可提出考虑转子涡动时叶片碰摩振动特性计算的通用流程，如图5所示。根据某叶片实际结构，建立叶片高保真有限元模型，采用固定界面模态综合法对动力学模型进行降维，并根据刚度矩阵拟合的方式考虑离心刚化效应，据此可得到任一转速状态下叶片降维后的动力学矩阵。根据提出的碰摩载荷模型及其离散施加方法，组集得到考虑叶尖空间三维特征的碰摩动力学方程，通过时域数值积分方法得到特定参数下缩减模型的振动响应及碰摩载荷。同时在碰摩过程中引入转子涡动影响，通过转子的涡动响应修正叶尖间隙与碰摩力，并推导叶片的惯性载荷。同样根据离散施加方法，组集获得结点惯性载荷向量，同步更新动力学方程的载荷项迭代求解叶片的碰摩响应。其中本文采用的数值积分方法为Newmark法，其作为一种具有较好稳定性的隐式积分方法，常被用于动力学方程的求解中。在本文采用的迭代次数为25000次，模型减缩前整个动力学方程的求解需耗费约70分钟而减缩后仅需约10分钟，碰摩响应的求解效应提升了7倍。

图5 考虑涡动影响下叶片碰摩的整体计算流程

3.1 不同碰摩位置的影响

发动机在工作过程中，由于复杂载荷作用可能引起转子涡动，导致叶尖部分区域与机匣之间产生负间隙，从而发生碰摩。如在转子系统存在质量非对称时，不平衡载荷将引起转子同步进动的典型涡动形式。本节考虑转子以同步圆轨迹涡动，其表达形式如式(30)所示：

式中：x_d和y_d代表叶盘对应方向的振动；A_w代表横向涡动位移幅值；θ代表不平衡相角;ω为压气机转子转速为6000r/min(f_e=100Hz),给定为0。其余碰摩响应计算参数包括单位面积碰摩刚度k_c=400N/mm³，接触点摩擦系数μ=0.1，结构阻尼比ξ=0.01。出于对气动效率的考虑，在叶尖不同位置处可能设计有不同的初始间隙。这种初始间隙与涡动位移幅值在叶尖弦向上的复杂分布关系将导致叶片出现局部位置碰摩的形式。但为了便于比较不同碰摩位置的影响，认为叶尖前缘与尾缘位置处在碰摩发生时具有相同的初始间隙0.01mm与涡动横向位移幅值0.02mm。本文所给出的碰摩刚度、叶尖间隙与转速均参考了实际发动机的数据，而涡动幅值、摩擦系数与结构阻尼比则基于以往的研究与经验数据给出。

以下将分析某航空发动机叶片叶尖前缘与尾缘的碰摩响应，分别选取叶尖前缘与尾缘部分单元与结点，如图6所示，在前缘碰摩时碰摩力仅作用于前缘结点，尾缘同理。后续振动结果在轴向、径向和周向上给出。其中轴向与发动机转轴方向一致；径向为叶尖所在位置垂直于发动机轴线的方向；周向垂直于轴向与径向决定的平面且与叶尖旋转线速度方向一致。

图6 叶片碰摩位置与响应提取位置

首先通过侵入量分析该叶片前缘的碰摩行为，如图7所示。图中结果表明：侵入量呈现动态变化，随时间推移侵入量幅值逐渐增加，并稳定在0.075mm，此时叶尖前缘与机匣形成稳定的间歇碰摩状态，侵入量随时间增加其在零点上下呈现简谐变化。从稳定状态下侵入量频域响应来看，其频率成分主要是叶片前缘三弯模态f_b3，表明此侵入量振荡特征可能与叶片前缘三弯模态相关。

图8所示为该叶尾缘碰摩时叶片的侵入量变化曲线，结果表明：与前缘碰摩不同的是，侵入量随时间增加动态减小，并最终基本达到稳态，最终侵入量稳定在0.0086mm，叶片表现出稳定的持续碰摩状态。其频域结果表明侵入量瞬态响应中主要成分为叶片第一阶弯曲模态频率f_b1，同时包含幅值较小的部分高阶模态频率成分。

图7 前缘碰摩时叶片侵入情况

图8 尾缘碰摩时叶片侵入情况

叶片振动结果如图9所示。前缘碰摩情况下，稳态碰摩时叶片位置1处的轴向、径向和周向均近似为简谐振动，频域成分以叶片的叶片前缘三弯模态频率f_b₃成分为主。除此之外，叶片轴向、径向和周向振动均有不同程度的0频分量，表明叶片还存在静态变形。

尾缘碰摩情况下，叶片自身振动响应与侵入量变化也具有相似的规律。当叶片受到碰摩力施加瞬时，叶片多阶模态振动会被激起，因此振动幅值最高，此后在阻尼作用下，振动幅值逐渐衰减，最终达到稳态。稳态时叶片位置6处存在明显的静变形。因此频域中0频分量的幅值最高。

通过以上分析可知，叶片的振动响应对叶尖碰摩位置非常敏感。在相同碰摩条件下，由于碰摩位置的改变，叶片表现出了两种截然不同的振动行为。前缘侵入会引起叶片的间歇性的碰摩形式。尾缘侵入则将导致叶片的静态变形并引起机匣的持续碰摩形式。相较而言，在尾缘碰摩时叶片不会被激励起显著的模态振动，叶片的振动量将大幅降低。这是由于叶片结构具有复杂的三维特性，叶片在碰摩过程中会表现出弯曲和扭转耦合的振动形式，且不同位置叶尖的径向、轴向和周向振动也强烈耦合，导致各方向振动具有明显的空间分布特征，进而使得叶尖的振动形式与振幅产生巨大差异。值得说明的是，对叶片个体而言，其振动响应受到碰摩位置的影响。但不同的叶片在不同叶尖位置碰摩时表现出的振动行为亦会存在差异，即尾缘碰摩也可能激起叶片显著的模态振动，这取决于叶片不同的实际三维构型。

图9 前缘/尾缘碰摩时对应位置振动响应

该叶片尾缘碰摩时叶片在稳态不振动，而前缘碰摩时叶片振动显著，因此进一步对前缘碰摩时叶片弦向各位置振动特征进行分析如图10所示。

结果表明：前缘位置1振动位移最大，尾缘振动很小，仅约为前缘振动1/10.不同位置的振动响应中，各振动分量占比有所差别，但总体而言是以轴向和周向成分占比最高。对于叶尖前缘、尾缘位置，如位置1、2和6，主要是轴向振动为主。而对于前缘弦向中后位置点4，周向振动成分和轴向振动成分占比均较高。

上述振动规律反映的是这种弯掠叶片在碰摩作用下的复杂空间振动变形特征，其本质上是碰摩载荷空间分布和结构自身复杂质量刚度分布的综合结果。从振动力学角度，对于本文的叶片模型，叶片前缘碰摩将激起叶片前缘三弯模态振型，该振型下叶片前缘相对振动、尤其是叶尖振动最高，这也是该模态成分能被激起的内在原因之一。

图10 叶片前缘碰摩时弦向各位置各向振动位移

3.2 不同涡动形式的影响

3.1节考虑的是转子同步正进动的情况，实际发动机转子受复杂激励因素和自身力学特性非对称等因素影响，通常作非同步进动。式(30)中给出了转子同步正进动，将其记为情况1。本节将进一步转子涡动形式对叶尖碰摩响应影响，式(31)和式(32)所示分别为两种情况非同步情况，式(31)中转子以椭圆轨迹涡动，记为情况2；式(32)中转子存在多个频率成分，具有更为复杂的涡动轨迹，记为情况3。

式中:A_wx=0.028mm和A_wy=0.012mm分别代表x向与y向的横向涡动位移幅值;θ=0;A_n=0.005mm代表转子横向模态振动位移幅值;转子转速ω为6000r/min(f_e=100Hz);碰摩可能激起转子的固有角频率ω_n为1800r/min(f_n=30Hz)。

不同涡动形式下叶片受到不同的惯性载荷，使叶片在无碰摩时产生不同的变形与振动形式。图11给出了不考虑叶尖碰摩不同涡动形式下叶尖前缘位置1的振动响应。结果表明：情况1时叶片不发生振动；情况2时叶片主要以转速频率f_e的2倍频2f_e振动；情况3时叶片主要以转速频率f_e和涡动模态频率f_n的差频f_e−f_n和2f_e振动。这是由惯性载荷引起的强迫振动，是由惯性载荷的性质决定的。

对于具有三维构型的叶片，惯性载荷会影响到叶片各向的振动，且三个方向上的振动频率相同，振动形式基本一致，但周向振动最为显著；另外振动频谱中均不存在叶片的模态振动成分，这与叶片的质量刚度特性有关。该实际发动机叶片为压气机叶片，其叶片结构短小刚性较强，固有频率较高。同时尺寸小也意味着承受的惯性载荷小，因此模态振动不易被惯性载荷激发，且叶片的变形量也较小。

图11 无碰摩时叶片在惯性载荷作用下的振动

下面进一步对转子非同步涡动时叶片的碰摩响应进行分析。由于本文所分析的叶片在前缘碰摩时叶片振动较为显著，因此考虑叶尖在前缘位置碰摩的情况，碰摩计算参数与3.1节相同。

情况2下叶片位置1处碰摩振动响应如图12所示。结果表明：稳态时叶片轴向、径向和周向振动可近似为简谐振动，各方向上的振动形式一致。频域成分以叶片前缘三弯模态频率f_b3成分为主，且存在幅值较低的转速频率f_e的2倍频2f_e模态频率与模态频率与2倍转频的和频率与差频率f_b3±2f_e。同时频域上能观察到代表静变形的0频成分。

图12 情况2下叶片位置1处振动响应

情况3下叶片位置1处碰摩振动响应如图13所示。结果表明：叶片的振动响应在频域上仍以叶片模态频率f_b3为主，叶片总体仍表现出高频振动。此外除了2倍转频2f_e和组合频率f_b3±2f_e外，频域上还能观察到转频f_e与转子涡动模态频率f_n的差频f_e−f_n，以及组合频率f_b3±（f_e−f_n）。

图13 情况3下叶片位置1处振动响应

3.3 不同关键参数的影响

本节分析不同关键碰摩参数，包括碰摩刚度k_c以及摩擦系数μ，对叶片振动响应的影响规律。研究不同碰摩参数的碰摩影响机制，进一步理解碰摩作用下的叶片振动行为。

针对本文的叶片模型，叶片碰摩位置仍考虑叶尖前缘，转子涡动形式考虑为情况1的同步进动形式，分别给出叶片前缘位置1在不同碰摩参数下的振动响应。

3.3.1 碰摩刚度

叶片碰摩刚度对叶片振动的影响如图14所示，当单位面积碰摩刚度k_c为400N/mm³时叶片的振动总位移随时间递增，稳态时最大位移为0.36mm。随着碰摩刚度的降低，叶片的振动位移呈现明显的下降趋势，当k_c为300N/mm³时，稳态最大位移仅为0.12mm，此时叶片的碰摩状态仍为间歇碰摩。而随着碰摩刚度的继续降低，叶片的碰摩状态将发生改变，当k_c为200N/mm³时，叶片的振动幅值随时间衰减，在稳态时叶片不存在振动。因存在恒定的侵入量，此时叶片将以持续碰摩的形式刮蹭机匣，碰摩载荷与惯性载荷均为静载荷，叶片整体表现出稳定的静变形状态。

图14 不同碰摩刚度下叶片振动总位移

3.3.2 摩擦系数

叶片摩擦系数对叶片振动的影响如图15所示，叶片的振动位移随着摩擦系数的降低而降低，当摩擦系数μ为0.3，0.1与0时，叶片的最大振动总位移分别为0.5mm,0.36mm与0.26mm。与碰摩刚度的规律不同的是，摩擦系数的降低并不会导致叶片碰摩状态的变化，并且当摩擦系数为0时叶片仍存在振动，其原因是叶片仍会在径向与周向上受力，而叶片的三维特性使得单个方向上的力对叶片三个方向上的振动产生的效果是耦合的。

图15 不同摩擦系数下叶片振动总位移

1）通过三维接触理论建立了具有复杂弯掠特征叶片的碰摩动力学模型，研究了非线性碰摩载荷激起的叶片复杂空间振动。在某叶片前缘碰摩时，叶片-机匣表现为间歇碰摩状态，叶片表现为前缘三弯局部振型的剧烈振动，这将导致靠近叶尖前缘位置的高幅值交变应力，进而可能诱发叶尖前缘附近的裂纹、掉角等故障模式。

2）推导了惯性载荷并以此考虑涡动对碰摩的影响。转子涡动一方面会直接影响叶片的空间位置，导致叶片侵入行为的变化；另一方面使叶片受到惯性力的影响，导致叶片产生变形，进而改变叶片的碰摩响应。非同步进动时叶片振动在频域上存在与涡动相关的频率成分，这导致了叶片的碰摩响应具有与之相关的周期性变化特征。

3）碰摩刚度、摩擦系数或是碰摩位置均会影响到叶片振动响应的幅值，甚至改变叶片的振动形式。针对某叶片碰摩分析结果表明，当碰摩刚度达某一特定值或是碰摩位置为叶片尾缘时，叶片将不再会被激励起高幅值的高阶振动，叶片出现局部损伤的概率将大大降低。因此，在设计过程中，通过降低机匣内部涂层刚度，或合理设计叶片-机匣碰摩时的叶尖接触位置，可以抑制叶片的间歇性碰摩状态和叶片的自激振动，从而大幅度降低叶片-机匣碰摩对叶片的损伤，提高结构安全性。