《Mechanics of Solid Polymers》5.3.10 8链模型
5.3.108链模型Arruda和Boyce提出的八链（EC）模型是一种超弹性模型，旨在描述弹性体的变形行为。EC模型的基本假设是，链状高分子（也称为链分子）在平均情况下位于单位立方体的对角线上，如图5.18所示。链的单位长度由表示，并由和未变形链的长度决定。它直接得出。在该模型中，高分子被认为是n个长度为ℓ的刚性链相连。根据这个FJC模型，在无外力作用下端-到端的自由长度为ℓ。有效形变链长为：其中、和是主变形伸长率，可以得到有效链伸长率：图5.18位于单位立方体中的分子链模型其中，这表明，扭转形变伸长率实际上与第一不变量I1∗有关。基于这一物理模型，8链材料模型被定义为各向同性的超弹性材料，其Helmholtz自由能，仅依赖于两个变形不变量和，及温度θ0。通过注意到有效链伸长与第一不变量b*的关系=[I₁*(b*)/3]¹/²，可以得出单位参考体积下的Helmholtz可以写成Ψ(λ̄*,J,θ₀)的形式，或者用主伸长率λ₁,λ₂,λ₃来表示为Ψ(I₁*,J,θ₀)，其中I₁*=I₁（b*）=tr(b*)。利用连续介质力学的公式(5.41)，可以得到该情况下柯西应力张量σ的表达式(5.98)。当不依赖于I₂*时，该表达式可以简化为：或者表示成有效链伸长的表达式：单位参考体积下的亥姆霍兹自由能(Ψ)可以通过实验观察确定，该观察表明，对于弹性体，内能通常不是外加畸变伸长(λ*)的函数[16]，即e₀(J,θ₀)。因此，亥姆霍兹自由能的函数形式为：注意，由于假设体积变化很小，因此忽略了η₀(,J)中对J的依赖性。对小体积变形的假设也使得柯西应力张量σ的压力分量和体积变形J之间的关系可以近似为线性：其中κ为体积模量。这给出了内能e₀(J)=κJ(J/2-1)。然后，可以根据公式(5.99)计算柯西应力，得到：为了完全确定本构关系，现在只需要确定熵如何依赖于有效链伸长。根据链式法则，我们得到：因此，为了最终确定本构方程，只需要确定单个高分子的熵如何依赖于其端到端距离就足够了。这个推导在5.3.5节中有详细讨论。利用公式(5.70)，公式(5.102)现在可以写成：其中是分子所能承受的最大（完全伸展）伸长。对于不可压缩单轴变形的特殊情况，方程(5.104)简化为：对于由定义的简单剪切，剪切应力由下式给出：其中材料的初始剪切模量由下式给出：将其代入(5.104)中，得到八链模型的柯西应力为：在这个方程中，是材料参数。对于八链模型的不可压缩版本，单轴、平面和等双轴变形的柯西应力由以下表达式给出：可压缩的八链(EC)模型包含三个材料参数：剪切模量μ、极限链伸长λlock和体积模量κ。EC模型不依赖于I₂，并且其预测精度与Gent模型相似[29]。通过与Treloar[16]的硫化天然橡胶数据进行比较，图5.19展示了EC模型预测弹性体行为的准确性。该图显示，在这种情况下，EC模型比NH模型和Mooney-Rivlin模型更准确，并且与Yeoh模型的准确性几乎相同。该图还显示，EC模型略微低估了双轴响应。由于该模型是基于I₁的，并且不包含任何对I₂的依赖性，因此这是符合预期的。对于不可压缩单轴加载，可以使用以下代码将EC材料模型在Matlab中实现：MatlabCode:function[stress]=mat_EC(time,strain,params)%mat_ECArruda-Boyceeight-Chainhyperelasticmodel%Incompressibleuniaxialloading%Thisfunctionisusingtruestressandstrainmu=params(1);lambdaL=params(2);lambda=exp(strain);lambdaChain=sqrt((lambda.^2+2./lambda)/3);stress=mu./lambdaChain.*invLangevin(lambdaChain./lambda).*(lambda.^2-1./lambda);endfunction[res]=invLangevin(x)%INVLANGEVINImplementationoftheinverseLangevinfunctionx(find(x>1))=1-eps;x(find(x<-1))=-1+eps;res=zeros(size(x));index=find(abs(x)<0.839);res(index)=1.314*tan(1.59.*x(index))+0.911249.*x(index);index=find(abs(x)>=0.839);res(index)=1./(sign(x(index))-x(index));end对于不可压缩单向加载情况NH模型可以用以下Python代码实现：PythonCode:defInvLangevin(x):EPS=spacing(1)iftype(x)==float:#xisascalarifx>=1-EPS:x=1-EPSifx<=-1+EPS:x=-1+EPSifabs(x)<0.839:return1.31435*tan(1.59*x)+0.911249*x#xisanarray=x[x>1-EPS]=1-EPSx[x<-1+EPS]=-1+EPSindex=abs(x)<0.839res=zeros(size(x))res[index]=1.31435*tan(1.59*x[index])+0.911249*x[index]index=abs(x)>=0.839res[index]=1.0/(sign(x[index])-x[index])returnres#PythonCode:'EC_incompressible_uniaxial.py'frompylabimport*fromPolymer_Mechanics_Chap05import*defEightChain(trueStrain,params):"""Arruda-Boyceeight-chainmodel.Incompressibleuniaxialloading.Returnstruestress."""mu=params[0]lambdaL=params[1]lam=exp(trueStrain)lamChain=sqrt((lam**2+2/lam)/3)returnmu/lamChain*invLangevin(lamChain/lambdaL)/invLangevin(1/lambdaL)*(lam**2-1/lam)trueStrain=linspace(0,0.8,10)trueStress=EightChain(trueStrain,[1.0,3.0])plot(trueStrain,trueStress,'r-')xlabel('TrueStrain')ylabel('TrueStress(MPa)')grid('on')show()以下代码示例展示了一种实现可压缩单轴加载的EC材料模型的方法。附加到"Polymer_Mechanics_Chap05.py"的代码：defEC_3D(stretch,param):"""八链模型。通过拉伸指定的3D加载。param:[mu,lambdaL,kappa]。返回真实应力。"""L1=stretch[0]L2=stretch[1]L3=stretch[2]F=array([[L1,0,0],[0,L2,0],[0,0,L3]])J=det(F)bstar=J**(-2.0/3.0)*dot(F,F.T)lamChain=sqrt(trace(bstar)/3)devbstar=bstar-trace(bstar)/3*eye(3)returnparam[0]/(J*lamChain)*invLangevin(lamChain/param[1])/\invLangevin(1/param[1])*devbstar+param[2]*(J-1)*eye(3)Python代码："EC_compressible_uniaxial.py"frompylabimport*fromPolymer_Mechanics_Chap05import*trueStrain=linspace(0,0.8,100)trueStress=uniaxial_stress(EC_3D,trueStrain,[1.0,3.0,100])plot(trueStrain,trueStress,'b-')xlabel('TrueStrain')ylabel('TrueStress(MPa)')grid('on')show()图像由Python代码创建：来源：ABAQUS仿真世界
