机器学习模型 | 卷积神经网络原理及MATLAB回归实现

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，缩写为CNNs或ConvNets）是一类专门为处理具有网格结构数据（如图像、音频）而设计的深度学习模型，在图像识别、目标检测、语义分割等诸多领域取得了巨大成功。

理论简介

1. 卷积层（Convolutional Layer）

• 原理：卷积层是CNN的核心组成部分，通过卷积核在数据上滑动进行卷积操作，提取数据的局部特征。卷积核中的每个元素都与输入数据的对应位置进行乘法运算，然后将结果相加，得到卷积后的一个输出值。
• 公式：假设输入特征图为      ，大小为      （宽度、高度、通道数），卷积核为      ，大小为      （卷积核宽度、高度、输入通道数、输出通道数），则卷积层的输出特征图      的计算公式为：      其中，      是输出特征图的坐标，      是输出通道的索引，      是偏置项。

2. 池化层（Pooling Layer）

• 原理：池化层通常用于减少数据的空间维度，同时保留主要特征。它通过在每个不重叠的局部区域内进行某种聚合操作（如取最大值、平均值等）来实现下采样。
• 公式
• 最大池化：      ，其中      为步长，      和      为池化核的宽度和高度。
• 平均池化：      

3. 激活函数层（Activation Layer）

• 原理：为神经网络引入非线性特性，使模型能够学习到更复杂的函数关系。常见的激活函数有ReLU、Sigmoid、Tanh等。
• 公式
• ReLU：      
• Sigmoid：      
• Tanh：      

4. 全连接层（Fully Connected Layer）

• 原理：全连接层将经过卷积层和池化层提取到的特征进行整合，将其映射到最终的输出空间，用于分类、回归等任务。
• 公式：假设输入向量为      ，权重矩阵为      ，偏置向量为      ，则全连接层的输出      为：      

5. 反向传播算法（Backpropagation）

• 原理：用于训练CNN，通过计算损失函数关于网络参数的梯度，然后根据梯度下降法更新参数，使得损失函数逐渐减小。
• 公式：在反向传播过程中，对于卷积层，损失函数      关于卷积核      的梯度计算如下：      对于全连接层，损失函数关于权重      的梯度为：      

通过不断地前向传播计算输出和反向传播更新参数，CNN能够逐渐学习到数据中的特征模式，从而实现对各种任务的准确预测和分析。

建模数据来源

本文所采用的钢筋混凝土梁长期挠度数据集来源于之前在世界各地进行的实验工作中收集的包含217个测试的数据集。详细的数据库由Espion从29个不同的研究试验中总结和记录。 下表给出所使用数据的变量名称和统计描述

注：完整代码在下方提供，在MATLAB中新建脚本，复 制粘贴即可运行出结果。

MATLAB实现代码

%%  清空环境变量
clc                     % 清空命令行
clear                   % 清空变量
warning off             % 关闭报警信息
close all               % 关闭开启的图窗
%%  导入数据
% res = xlsread('数据集.xlsx');
res = xlsread('Long-Term Deflection of Reinforced Concrete Beams_New.xlsx');
[Num, Dim] = size(res);  % 获取数据样本点个数Num和变量维度Dim
%%  划分训练集和测试集
rng(2048)
temp = randperm(Num);
P_train = res(temp(1: round(Num*0.8)), 1: Dim-1)';  % 80%用于训练
T_train = res(temp(1: round(Num*0.8)), Dim)';       % 80%用于训练
M = size(P_train, 2);  % 训练集样本点个数

P_test = res(temp(round(Num*0.8)+1: end), 1: Dim-1)';  % 20%用于测试
T_test = res(temp(round(Num*0.8)+1: end), Dim)';       % 20%用于测试
N = size(P_test, 2);  % 测试集样本点个数

%%  数据归一化
[p_train, ps_input] = mapminmax(P_train, 0, 1);
p_test = mapminmax('apply', P_test, ps_input);

[t_train, ps_output] = mapminmax(T_train, 0, 1);
t_test = mapminmax('apply', T_test, ps_output);

%%  数据平铺
%   将数据平铺成1维数据只是一种处理方式
%   也可以平铺成2维数据，以及3维数据，需要修改对应模型结构
%   但是应该始终和输入层数据结构保持一致
D1 = Dim-1;
D2 = 1;
D3 = 1;
p_train =  double(reshape(p_train, D1, D2, D3, M));
p_test  =  double(reshape(p_test , D1, D2, D3, N));
t_train =  double(t_train)';
t_test  =  double(t_test )';

%%  构造网络结构
layers = [
 imageInputLayer([D1, D2, D3])                         % 输入层 输入数据规模[D1, D2, D3]

 convolution2dLayer([3, 1], 16, 'Padding', 'same')  % 卷积核大小 3*1 生成16张特征图
 batchNormalizationLayer                            % 批归一化层
 reluLayer                                          % Relu激活层

 maxPooling2dLayer([2, 1], 'Stride', [1, 1])        % 最大池化层 池化窗口 [2, 1] 步长 [1, 1]

 convolution2dLayer([3, 1], 32, 'Padding', 'same')  % 卷积核大小 3*1 生成32张特征图
 batchNormalizationLayer                            % 批归一化层
 reluLayer                                          % Relu激活层

 dropoutLayer(0.1)                                  % Dropout层
 fullyConnectedLayer(1)                             % 全连接层
 regressionLayer];                                  % 回归层

%%  参数设置
options = trainingOptions('sgdm', ...      % SGDM 梯度下降算法
    'MiniBatchSize', 32, ...               % 批大小,每次训练样本个数 32
    'MaxEpochs', 1200, ...                 % 最大训练次数 1200
    'InitialLearnRate', 1e-2, ...          % 初始学习率为0.01
    'LearnRateSchedule', 'piecewise', ...  % 学习率下降
    'LearnRateDropFactor', 0.1, ...        % 学习率下降因子
    'LearnRateDropPeriod', 800, ...        % 经过 800 次训练后 学习率为 0.01 * 0.1
    'Shuffle', 'every-epoch', ...          % 每次训练打乱数据集
    'Plots', 'training-progress', ...      % 画出曲线
    'Verbose', false);

%%  训练模型
net = trainNetwork(p_train, t_train, layers, options);

%%  模型预测
t_sim1 = predict(net, p_train);
t_sim2 = predict(net, p_test );

%%  数据反归一化
T_sim1 = mapminmax('reverse', t_sim1, ps_output);
T_sim2 = mapminmax('reverse', t_sim2, ps_output);

%%  均方根误差
error1 = sqrt(sum((T_sim1' - T_train).^2) ./ M);
error2 = sqrt(sum((T_sim2' - T_test ).^2) ./ N);

%%  绘制网络分析图
a nalyzeNetwork(layers)

%%  绘图
figure
plot(1: M, T_train, 'r-*', 1: M, T_sim1, 'b-o', 'LineWidth', 1)
legend('真实值', '预测值')
xlabel('预测样本')
ylabel('预测结果')
string = {'训练集预测结果对比'; ['RMSE=' num2str(error1)]};
title(string)
xlim([1, M])
grid

figure
plot(1: N, T_test, 'r-*', 1: N, T_sim2, 'b-o', 'LineWidth', 1)
legend('真实值', '预测值')
xlabel('预测样本')
ylabel('预测结果')
string = {'测试集预测结果对比'; ['RMSE=' num2str(error2)]};
title(string)
xlim([1, N])
grid

%%  相关指标计算
% R2
R1 = 1 - norm(T_train - T_sim1')^2 / norm(T_train - mean(T_train))^2;
R2 = 1 - norm(T_test  - T_sim2')^2 / norm(T_test  - mean(T_test ))^2;

disp(['训练集数据的R2为：', num2str(R1)])
disp(['测试集数据的R2为：', num2str(R2)])

% MAE
mae1 = sum(abs(T_sim1' - T_train)) ./ M ;
mae2 = sum(abs(T_sim2' - T_test )) ./ N ;

disp(['训练集数据的MAE为：', num2str(mae1)])
disp(['测试集数据的MAE为：', num2str(mae2)])

% MBE
mbe1 = sum(T_sim1' - T_train) ./ M ;
mbe2 = sum(T_sim2' - T_test ) ./ N ;

disp(['训练集数据的MBE为：', num2str(mbe1)])
disp(['测试集数据的MBE为：', num2str(mbe2)])

%%  绘制散点图
sz = 25;
c = 'b';

figure
scatter(T_train, T_sim1, sz, c)
hold on
plot(xlim, ylim, '--k')
xlabel('训练集真实值');
ylabel('训练集预测值');
xlim([min(T_train) max(T_train)])
ylim([min(T_sim1) max(T_sim1)])
title('训练集预测值 vs. 训练集真实值')

figure
scatter(T_test, T_sim2, sz, c)
hold on
plot(xlim, ylim, '--k')
xlabel('测试集真实值');
ylabel('测试集预测值');
xlim([min(T_test) max(T_test)])
ylim([min(T_sim2) max(T_sim2)])
title('测试集预测值 vs. 测试集真实值')

结果展示

训练集数据的R2为：0.97718
测试集数据的R2为：0.90301
训练集数据的MAE为：2.4282
测试集数据的MAE为：6.6436
训练集数据的MBE为：0.095372
测试集数据的MBE为：-1.1229

参考文献

[1] Dan, W.; Yue, X.; Yu, M.; Li, T.; Zhang, J. Prediction and Global Sensitivity An alysis of Long-Term Deflections in Reinforced Concrete Flexural Structures Using Surrogate Models. Materials 2023, 16 (13), 4671. https://doi.org/10.3390/ma16134671.

[2] Espion B (1988a) Long term sustained loading tests on reinforced concrete beams. Bull Serv Génie Civil