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Nature子刊: 微型换热器中各种流量分布不均量化方法的比较

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本文研究目的是使用速度、质量流率、压力和温度来比较各种流量分配不均量化方法。本文准备了一项经过实验验证的数值研究,并对一台具有34个直径为3.1毫米的半圆形通道的热交换器进行了测试。以50607080 kW/m2的热通量从底部加热微通道。已经测试了0.10.20.30.4 m/s各种入口速度的情况。它导致了总共16种不同热通量和不同进水速度的情况。然后,对于每16种情况,根据速度、压力和温度剖面计算文献中广泛使用的流量分配不均系数。研究表明,每种方法都给出相同参数的其他结果,这些结果应以相同方式定义换热器中的流量分布。因此,文献中发现的换热器中流体分布结论的模糊性可能是由对流量分配不均系数的不同解释引起的。提出了一个归一化流量分配不均系数,该系数对所有使用的热工水力参数给出了相同的结果。    


   

引言  

TuckermanPease1证明,减小通道的水力直径会导致更强烈的传热。从那以后,许多研究人员开始针对微通道的传热过程开展研究2,3。然而,众所周知,通道的水力直径越小,速度越大(对于恒定的质量流量),因此会导致压降越高。为了将热交换器中的流体压降保持在合理的水平,可以将总质量流率分成许多分支。它会降低每条路径的速度(同时保持总质量流速恒定),从而降低压降。然而,许多与普通入口和出口歧管相连的小通道会带来另一个水力问题,即分配不均4。这种现象通常被称为流量分配不均,它不仅会在热交换器5中产生问题,还会在其他技术领域(如气体脱硫塔6或燃料电池7)中产生问题。
然而,有些时候不均匀流动可能是人们所期待的,并且在某些应用中(例如,在化学工程中设计反应器中的反应时8或在冷却电子设备中,表面上可能会遇到不均匀的热通量9)人们反而会有意使用不均匀的流量分布来提高设备的整体性能。Li等10表明,当出现不均匀的多峰值热通量时,可以调整平行小通道散热器中的流动(每个通道中的质量流率不同)以消除温度热点。因此,流量分配不均(maldistribution)(“不良/不正确/错误”分配)不一定意味着非均匀分配(non-uniformdistribution)。同时,非均匀分配(non-uniformlydistributed)的流量也不总是分配不均的(maldistribution)。然而,在本文中,假设有利的流体分布相当于均匀的速度和温度分布,因此术语“流量分布不均(flow maldistribution)”和“非均匀流动(non-uniformflow)”在此可互换使用。  
在过去的几年中,已经发表了一些关于minimicrocompactmacro通道换热器中流量分配不均的综述11,12,13,14。Dario等人11关注的是平行通道中的两相流分布,其中讨论了影响两相流分布不均的因素以及一些改善流量均匀性的集管设计。Siddiqui和Zubair12从换热器几何形状(主要是歧管)的角度讨论了流量分配不均的问题。作者展示了一些试图从数学上描述流量分布不均的分析模型。Ghani等13主要关注流量分布不均范围内的管汇设计。作者深入讨论了可以区分哪些流形以及特定流形如何影响流体分布。Singh等14描述了几种热交换器(plate, plate-fin tube-fin)中的流量分布不均,并说明了相变和属性变化对流量分布的影响。作者的工作主要集中在太阳能收集器和更可持续的能源利用的背景下。  
本研究的创新点在于全面总结了之前关于流量分配不均的研究成果,并对先前不明确的结果进行了比较。之前文献中未发现使用不同流量分配不均量化方法重新计算的各种工作结果的比较。总结表明,文献中发现的分歧可能是由流量分配不均系数的不同解释引起的。经过实验验证的数值分析表明,通过对统计数据的分析,可以找到最佳的、通用的流量分配不均系数。

流量分配不均量化方法  

前人的工作中主流存在几种量化流量分布不均的方法。因此我们确定了在热交换器的给定通道中可以用于区分的一些主要特征参数,包括:质量流率、速度、压降、温度等。如果流量完全均匀时每个通道中这些物理量应该维持在适当值。
01 速度测量
定量分析流动不均匀性的方法之一是确定换热器表面的速度场。如果考虑小通道热交换器,那么确定每个平行通道中的速度将允许确定每个通道中的质量流率,这允许描述流量分布不均的现象。只有当每个通道的横截面积已知时,才可能根据通道中的速度计算质量流率。当通过速度量化流量分布不均时,通常假设每个通道具有相同的横截面。这在大多数情况下是正确的,但应该始终牢记这一假设。如果通道具有不同的横截面积,热交换器表面上不均匀的速度场并不一定意味着存在不均匀的质量流速。Kumar15,16进行了数值研究,表明通过改变单个通道的宽度或高度(横截面积),可以消除流量分布不均。  
Kim17进行了一项实验,其中测量了平行通道中的速度,以确定小通道热交换器中的流量分布不均。使用由铝制成的半圆形横截面(半径1.55mm)的通道。为了能够观察流动并测量通道中的速度,测量部分覆盖了丙烯酸玻璃。可溶于水的红色墨水被周期性地引入在该部分中流动的水中。通过这样的方法,可以观察到没有染色的水和被染红色的水的边界。这条边界后面放置一台高速摄像机,以每秒200帧的速度拍摄水流。在将照片中可见的彩色和染色水的边界所覆盖的距离除以覆盖它所需的时间后,作者获得了每个小通道中的速度。测试在3.336.67 cm3/s的体积流速范围内进行,采用I’型流动配置。方程(1)中的表达式被用于确定每个通道中的流量分配不均系数。

在这种情况下,平均速度Uavg是在流动完全均匀的情况下所有通道中出现的速度。作者发现最高速度出现在中央通道中,最低速度出现在侧通道中,这与其他作者的观察结果一致15,16。此外,当流速较高且通道的宽度与长度之比增加时,会出现较大的流量分配不均。热交换器入口和通道之间的距离也影响工作介质的分布。它越高,流动就越均匀,其他研究人员也观察到了这一点18。此外,作者17提出了一个分析得出的分配不均系数方程,该方程涉及换热器的几何参数(宽度、通道长度、通道间距、通道水力直径和通道与入口的距离),这与作者的结果非常吻合。然而,作者强调,这一理论局限于均匀扩散的假设。  
Minqiang18Dąbrowski19提出了一种略有不同的流量分配不均系数计算方法,如方程(2)  

上述方程允许计算整个热交换器的上述系数,而不仅仅是方程中的单个通道,方程(1)。这是一种有用的方法,因为它使得不同的热交换器设计能够相互比较,例如具有不同数量的通道。作者从数值上验证了通道的长度、高度和宽度、工作介质入口的位置以及单个通道之间的距离对流量分配不均现象的依赖性。  
02 流率测量
流量分配不均的另一种定量分析方法是测量质量流率。这种解决流体分布问题的方法使得独立于平行通道的不相等横截面积对正确解释该现象的影响成为可能。热交换器中给定点的质量流率直接影响其运行,包括温度场分布、压降和热能传输效率。  
Kumaraguruparan2025条平行通道中的质量流量进行了单独测量。他们对水进行了实验和数值模拟。为了估计小通道热交换器中流量分布不均的定量分布,在不使用出口歧管的情况下,为每个小通道单独收集通过通道组的水。整个热交换器的流量分配不均系数使用方程(3)计算。  

最小值、最大值和平均值是指单个通道中的质量流量。根据已进行的研究20,作者得出结论,可以区分两种类型的压降:与惯性力有关的压降(速度降低,因此压力增加)和与摩擦力有关的压降。为了减少流量分配不均,有必要减少惯性的影响并增加摩擦的影响。更高的流速恶化了流体分布。数值研究表明,在通道入口处存在气流分离、回流和涡流,它们是导致分布不均匀的原因。作者表示,这些影响可以通过增加液体的粘度来抵消。此外,通道本身应该有更大的压降。  
流量分配不均系数也可以分为两个阶段。对此有两种说法2122。第一种说法体现在方程(4)中,其用于确定每个小通道中的系数。  

为了确定它,需要该点的质量流率和流量均匀时每个通道中的质量流率的平均值。最常见的是流过热交换器的总质量流量除以通道数。等于零的流量分配不均系数表示理想流量,该系数越高,所考虑的通道(点)中的质量流量与平均值的差异越大。确定所有通道的流量分配不均系数后,确定标准偏差以计算整个热交换器的总系数(方程5)  

有了它,不同的热交换器可以在设计、通道数量或歧管形状上相互比较,而无需分析单个通道中流量分配不均系数的变化。  
03 压降测量
除了测量单个通道中的流量或速度之外,另一种量化流量分布不均的方法是测量通道中的压降。压力是流动流体的流体动力学参数之一,与流速直接相关,例如伯努利方程或N-S方程23。为此,单个通道中的压降差异可被视为流体分布质量的指标。这种方法已经被一些研究人员采用。  
Siva24在他们的工作中介绍了描述小通道中流量分布不均的实验和数值研究。对供热水的流量进行了实验测试。最大热通量为50千瓦/平方米。根据对流量分配不均的影响分析的可变参数有:渠道的水力直径(88176352µm); 通道数量(51020); 雷诺数(从10200); 通道和歧管的横截面积之比(0.52); 流量配置(U型、Z型或I型)。
为了量化流量分配不均,作者24测量了每个通道的入口和出口压力。由于这些测量,有可能计算单个通道中的压降。根据公式(6),流量分配不均系数定义为最大和最小压降差与最大压降之比。

研究表明,通道数量越多,流体分布越差。此外,流动结构对分配不均系数有很大影响。U型分布最差,I型分布最好。当歧管的横截面积与通道的横截面积之比减小时,可以观察到更大的流量分配不均。通过数值研究,作者得出结论:流动的不均匀性与换热器表面的不均匀温度场密切相关。此外,应特别注意数值计算的验证。CFD计算的结果通常质量较差,因此可能与实验不符。这可能是因为,在小通道的情况下,粘性力比惯性力更重要,而惯性力在数值计算中通常不考虑在内。  
此外,Maganti25根据方程(6)提出了计算流量分配不均系数的方法。在这项工作中,对7个平行小通道(水力直径为100µm)中含有纳米颗粒的液体流量进行了数值计算。流动在U型结构中实现,通道的横截面积与歧管的比率为0.2。作者描述了颗粒和流体的分布及其对热参数的影响。据观察,在大热通量和低雷诺数的情况下,流量分布更加不均匀。随着热通量的增加,温度升高,流体的粘度降低,因此粘滞力的影响降低。同时,对于较小的雷诺数,流速随着恒定的水力直径而降低。在之前描述的研究17,20中,流速的降低增加了流量分配不均系数。这是文献中反复出现的不确定性,也是为什么仍应调查所述现象的原因之一。这种差异可能是由测试参数的范围、流量分配不均系数的计算方法或流量类型(单相、两相)造成的。
在后来的研究中,Maganti26还使用压力测量来确定水力直径为100200µm71012个平行小通道中的流量分布。实验的雷诺数范围为10150,输入热通量为25千瓦/平方米。测试了三种流量配置:U型、I型和Z型。如前所述,通道的横截面积与歧管的比率等于0.2。结果表明,U型流的流体分布最差,这与其他作者的研究结果一致24。另一方面,根据Maganti26的说法,Z型流量配置保证了最佳的均匀性,这与Siva等人24的报告相矛盾。然而,Z型和I型之间的流量分配不均系数差异并不显著,因此它们可能是由测量不准确性引起的。此外,作者26发现,尽管流量分布不均是由流体力学引起的,但仅在绝热条件下研究这一现象并不重要。传热条件下的温度分布在冷却系统的设计中起着关键作用。流体的粘度是温度的函数,流动的不均匀性取决于粘性力,因此检查温度场可以更好地了解热交换器的实际设计和操作。  
04 温度分布测量
测试流量分布不均的另一种方法是确定热交换器表面的温度分布。最简单的解决方案是使用热成像相机来确定温度场并分析温度升高点的存在和等温线的形状。对于完全均匀的分布,假设热交换器整个表面上的热通量恒定,等温线应为直线,垂直于流体流动方向。温度场的分析允许定性地确定不均匀性。当对流体加热时,流体的温度越高意味着流体的质量流量越低,温度越低则相反。然而,它不允许量化流体的质量流率或速度。要做到这一点,有必要考虑传热和流体与壁面之间的温差。  
LiHrnjak27开发了一种方法,通过红外相机记录的图像来量化微通道换热器中液体制冷剂的质量流量分布。该方法基于假设每个微通道中流体的质量流率和第二传热流体侧的热效率之间的关系,该热效率基于壁温测量值计算。作者通过数值计算和实验研究验证了他们的方法。测试在冷却系统的蒸发器上进行。蒸发器的冷却能力主要来自液态制冷剂的潜热,因此液体分布比蒸汽分布更重要。  
Paz28根据温度场对流量分布不均进行了定量分析。他们记录了在ORC(Organic Rankine Cycle)装置中运行的蒸发器上使用热成像相机拍摄的图像29,30。乙醇是流经系统的液体。研究表明,可以比较温度场,并在此基础上确定工作介质是否均匀分布。  

Vasilev31对小通道换热器的十种不同配置进行了数值研究,以找到产生最大热效率和均匀温度分布的配置。为了定量比较换热器表面温度场的均匀性,作者引入了方程(7)中的系数。  

目前已经发现,在通道中流动的介质速度较低的情况下,因此也在低雷诺数的情况下,可以观察到温度分布均匀性对通道中流动期间方向改变次数的更显著依赖。此外,注意到对于相同的泵送功率,更均匀的温度分布有助于平均努塞尔数的进一步增加。  

05 对比
从上述分析中可以看出,可以使用各种类型的参数(例如速度、质量流速、体积流速、压降或温度)以许多不同的方式量化流量分布不均。作者使用不同的实验技术和数值模拟研究了流量分配不均现象。此外,根据流量分布测试的几何形状在许多方面都有所不同,例如通道数量、流量配置或质量流量。因此,很难比较结果。此外,一些作者24,26注意到U型流的流体分布最差,而另一些作者32注意到V型流的流体分布最不均匀。当将流体流速视为分布不均的参数时,甚至会发现更严重的不一致性。有些作者25声称低流速数值的分布不太均匀,而有些作者17,20的说法恰恰相反。  
为了便于比较和解释提到的模糊性,使用各种流量分布不均量化方法重新计算了不同研究的结果。使用公式(2)(3)(6)(7)计算流量分布不均系数时考虑了速度、质量流率、压降和温度分布。选择研究的方式有足够的数据来计算至少4个分布不均系数中的3个。结果如表1所示。数据从测试的渠道水力直径的最低值到最高值排序。所有数据都是在基本的常规情况下获得的,即使某篇论文提出了降低流量分配不均系数的几何形状。  
表1 不同方法计算的流量分配不均系数比较

首先,可以得出结论,即使使用的数据描述了相同的结果,每个流量分配不均系数也因选择的方程而异。因此,如果不确保流量分配不均系数是使用相同的公式计算的,就很难对其进行比较。此外,在每种情况下,对于相同的数据,使用公式(3)计算的流量分配不均系数比使用公式(2)计算的流量分配不均系数高几倍。此外,值得注意的是,由计算公式(7)的流量分配不均系数不是百分比值。它有自己的量纲,并且根据热通量的不同而有很大的变化,因此不容易进行比较。
第二,当考虑速度(公式2)和质量流率(公式3)时,高流速下的流量分配不均系数较高。尽管如此,使用温度曲线(公式7)计算的相同情况下的系数对于低流速更高。这可能是导致流量分配不均和流速不一致的原因。  
也可以看出,最差的流量配置也是模棱两可的。KumarSingh9的结果表明,当采用I型流配置时,可获得最佳的流均匀性。然而,对于每个流量分配不均系数,其余测试流量配置的顺序并不相同。最后,各种歧管形状的流量分配不均系数之间的差异并不显著。

CFD模型的细节  

在数值模拟中,根据Kim17的实验,考虑了小通道换热器。利用建模软件建立三维模型,并设置流体域。设置工质为水。通道中的流体沿X轴方向流动。以恒定的热通量(沿Z轴方向)从该部分的底部加热水。热交换器的材料假定为铝。入口和出口歧管未被加热。全部热量都被输送到小通道。
1显示了具有34个直径为3.1毫米、长度为120毫米的半圆形通道的小通道热交换器的物理模型。为了研究在某些流速范围内各种分布不均系数的行为,对0.10.20.30.4/秒的各种入口速度进行了测试。它导致了总共16种不同热通量和不同进水速度的情况。然后,对于每16种情况,根据小通道换热器中的速度、压力和温度分布计算文献中广泛使用的流量分配不均系数。

图1 用于数值模拟的微通道换热器物理模型

01 控制方程与边界条件
在数值模拟工作中,进行了以下假设:1.流体的性质与压力无关,只受温度影响;2.流体流动是单相、稳态、不可压缩和三维的;3.连续性、动量和能量方程(公式8910)被视为控制方程,并与上述假设一起用于计算。

本研究忽略重力加速度的影响。水的比热Cp、导热系数k、密度ρ和动力粘度µ取决于温度,符合表2所示的多项式关系。这些多项式是基于NIST标准参考数据库2335274.15K–372.15K的温度范围内创建的。

表2 描述比热Cp、热导率k、密度ρ和动力粘度µ的温度依赖性的多项式系数a、b、c、d、e和f

使用有限体积法(FVM)求解质量、动量和能量守恒方程。动量和能量方程采用二阶迎风格式离散。湍流模型选择SST k-omega模型。正式数值计算前,测试了3个主要和最常见的湍流模型:层流、SST k-ωk-εSST k-omega模型在收敛性和与实验/相关结果的一致性方面取得了最佳结果。众所周知,该模型在靠近墙壁的位置给出了良好的结果(小通道中计算结果理想),在较大体积的管道中给出了良好的结果(在较大的歧管中计算结果理想)36,37,38,39。选择了带有简单压力校正算法的分离隐式求解器来计算整个换热器(入口/出口歧管和小通道部分)的速度场。  
所有工况均选择水作为工质。水的入口温度为T=300 K,铝的参数为ρ=2719 kg/m3Cp=871 J/(kg K)K=202.4 W/(m K)。热量施加在一段的底壁上,热通量q的恒定值为50607080 kW/m2。热交换器入口处的恒定速度等于0.10.20.30.4 m/s,因此入口处的雷诺数分别为995199029863981。单个小通道中的平均速度Uavg分别为0.0610.1220.1840.245 m/s,单个通道中的平均雷诺数分别为115230345460。压力出口边界条件假设在换热器出口处。当连续性、x方向速度、y方向速度和z方向速度的残差值小于10‑3,能量的残差值小于10-6时,认为解是收敛的。  

02 模型验证

进行网格无关性研究以确保数值结果的准确性。使用不同数量的元素测试了五种不同的网格:4.0e5个单元到1.0e7个单元。为了比较各种网格,引入了第j个网格和最细网格之间的测试参数F(速度、压降、温度)的百分比偏差ε(方程11)。所有模拟都选择了出口速度、压降和通道平均温度的绝对百分比偏差小于1%的网格。已经为以下边界条件准备了网格独立性研究和实验验证:120 mm长的小通道、3.33-6 m3/s(200ml/min)的入口流速以及底壁处50 kW/m2的热通量。速度、压降和温度的结果分别显示在图234中。选择具有约4.6e6个单元的网格进行进一步计算。  

图2 网格无关性研究的结果 (u—出口处的平均速度,ε—速度差百分比)

图3 网格无关性研究的结果 (Δp—整个热交换器的压降,ε—压降的百分比差值)  

图4 网格无关性研究的结果 (t—小通道中的平均温度,ε—温差百分比)  

由于在Kim等人的实验工作中使用了精确的几何形状17,因此当前的模拟可以用实验数据进行验证。为此,引入了归一化速度Un,其数学表达式如公式(12)所示。图5显示了实验和模拟的归一化速度。结果显示了良好的一致性,特别是考虑到测量中存在不确定性。然而,Kim等人的工作中没有不确定性分析17,因此无法标记不确定性。  

图5 Kim等人的实验与本模拟的小通道截面的归一化速度比较17

此外,通过比较模拟摩擦系数(公式13)的值,验证了当前的数值模型。在具有Darcy–Weisbach相关性(公式14)的小通道部分,摩擦系数数值的对比分析结果如图6所示。当前模型和理论相关性之间的良好一致性确保了当前数值分析的准确性和可靠性。  

图6 当前模拟和Darcy–Weisbach相关的小通道平均摩擦系数的比较

结果与讨论  

从上述文献综述18,20,21,22,24可以得出结论,为了量化流量分布不均,应考虑通道中的平均速度、质量流率、压降或温度下降(上升)。值得注意的是,在这项特殊研究中,由于通道横截面不变,速度分布与质量流率分布相匹配。此外,可以区分描述整个换热器中流量分布不均的四种类型的方程。然而,并非每种方法都能在文献中找到每个热工水力参数。为了更一致地呈现所有相关性,引入了参数F,该参数对应于通道中的平均速度、压降或温降。公式(15)考虑了通道中参数F的最大值与第I个通道中参数F的值(参考参数F的平均值(如果流量完全均匀)之间的差异。公式(16)考虑了参数F的平均值与第I个通道中参数F的值(参考参数F的平均值)之间的差异。等式(17)考虑了通道中参数F的最大值和通道中参数F的最小值之间的差异,参考参数F的平均值。等式(18)考虑了通道中参数F的最大值和通道中参数F的最小值之间的差异,参考通道中参数F的最大值。在以下考虑因素中,下标为UpT的流量分配不均系数指的是分别基于速度、压降和温降作为参数F的系数。此外,下标1234指的是从方程(15),(16),(17)(18)计算的流量分配不均系数。  

速度场、压力场和温度场可互换使用,以量化换热器中的流体分布,这不无道理。那些热工水力参数是相互关联的。为了显示这种联系,不仅速度,而且单通道中的压降和单通道中的温降(上升)都以与方程(12)相似的方式进行了归一化。  
7显示了Rech115、热通量为80 kW/m2的情况下的归一化热工水力参数分布。可以看出,速度和压降分布几乎相同。微通道中的温降分布与其他微通道相反,因为给定通道中的速度越高(流速越高),由于壁面的热通量恒定,温度增加越小。为了直观地显示所有3个参数的行为方式相同,引入了反向归一化温度降,如图8所示。现在可以看出,无论考虑哪个参数(速度、压力、温度),就流量分配不均系数而言,上述热工水力参数分布应给出相同(或非常相似)的结果。  

图7 Rech为115和热通量为80 kW/m2的小通道中的示例性归一化速度、归一化压降和归一化温降分布    

图8 Rech=115和热通量80 kW/m2,小通道中的示例性归一化速度、归一化压降和反向归一化温降分布

01 各类参数
首先,分析了流量分配不均系数(以各种方式计算)如何取决于雷诺数(在此特定情况下为入口速度)和施加于壁面的热通量。为了显示相关性,数据被分为3组图表(91011),其中每组对应于使用特定热工水力参数(速度、压力或温度)计算的流量分配不均系数。在每组中,有4个图表,每个图表显示特定热通量的数据。此外,每个图表包含4个系列的数据,对应于用于计算流量分配不均系数的各种方法(方程1518)  

图9 针对不同的热通量q,根据渠道Rech中平均雷诺数的函数,使用速度和各种方法计算流量分配不均系数  

图10 在不同热通量q下,根据渠道Rech中平均雷诺数的函数,使用压力和各种方法计算流量分配不均系数  

图11 在不同热通量q下,根据渠道Rech平均雷诺数的函数,使用温度和各种方法计算流量分配不均系数  
9显示了利用速度剖面进行计算的流量分布不均系数。可以看出,无论选择何种计算方法,雷诺数越高,流量分布越好。可以看出,方法3和方法4的相关性最高,而方法1和方法2的雷诺数相关性较小。此外,不同热通量的流量分配不均系数之间没有显著差异。  
10中显示了利用压力剖面计算的流量分配不均系数。可以看出,对于大多数计算方法来说,雷诺数越高,流量分布越好。然而,对于方法1,流量分配不均系数几乎是常数,似乎不是线性相关的(相关系数为0.448)。使用的其余方法显示了与雷诺数的高线性相关系数,即方法234分别为0.9120.9510.961。可以注意到方法34的线性相关性最高,tanα约为0.008,而方法2约为0.004。此外,不同热通量的流量分配不均系数之间没有显著差异。  
11中显示了利用温度曲线进行计算的流量分配不均系数。同样,可以看出,对于每种计算方法,雷诺数越高,流量分布越好。对于所有方法,线性相关系数约为0.960或更高。然而,可以注意到方法134的流量分布与雷诺数的线性相关性最高,tanα约为0.005,而方法2tanα约为0.003
所有数据的共同结论是,方法34的流量分配不均系数最高,方法2的流量分配不均系数最低。此外,方法34给出的结果总是非常相似,并且受雷诺数的影响最大。
02 各类方法
此外,本文分析了流量分配不均系数的各种计算方法如何与分配分析中考虑的不同热工水力参数一起工作。参见图8,可以推断出,无论考虑什么热工水力参数,就流量分布不均而言,都应该获得相同(或非常相似)的结果。同样,流量分配不均系数(以各种方式计算得出)显示为应用于壁面的各种热通量的雷诺数函数。为了从不同的角度观察相同的数据,结果被分成4组图表(12、图13、图14和图15),每组图表对应于使用特定方法计算的流量分配不均系数(方程15–18).在每组中,有4个图表,每个图表显示特定热通量的数据。此外,每个图表包含3个系列的数据,这些数据对应于用于计算流量分配不均系数的各种热工水力参数(速度、压力和温度)  

图12 使用等式(15)计算的流量分配不均系数。以及各种热通量q下通道Rech中平均雷诺数函数的各种参数  

13 使用等式(16)计算的流量分配不均系数。以及各种热通量q下通道Rech中平均雷诺数函数的各种参数  

图14 使用等式(17)计算的流量分配不均系数。以及各种热通量q下通道Rech中平均雷诺数函数的各种参数  

图15 使用等式(18)计算的流量分配不均系数。以及各种热通量q下通道Rech中平均雷诺数函数的各种参数  

在图12中,利用方法1的流量分配不均系数(等式15)用于已显示的计算。可以看出,各种热工水力参数的流量分配不均系数值彼此接近,但它们之间的差异随着雷诺数的增大而增大。速度、压力和温度函数的tanα平均值分别为0.00230.00190.0049,因此考虑各种热工水力参数时,流量分布和雷诺数的相关性不同。  
在图13中,使用方法2的流量分配不均系数(等式16)来进行计算。可以看出,在整个雷诺数范围内,各种热工水力参数的流量分配不均系数值彼此接近。此外,即使使用温度作为计算参数,这种方法似乎对各种热通量都是恒定的。速度、压力和温度函数的tanα平均值分别为0.00290.00390.0026,因此各种热工水力参数的流量分布和雷诺数的相关性非常相似。  
在图14中,利用方法3的流量分配不均系数(等式17)来进行计算。可以看出,特定流量分配不均系数值之间的差异是显著的。还可以观察到,利用温度作为热工水力参数的流量分配不均系数不随雷诺数呈线性变化,这与大多数情况不一致。此外,速度、压力和温度函数的tanα平均值分别为0.00600.00780.0072  
在图15中,利用方法4(等式18)的流量分配不均系数来进行计算。可以看出,特定流量分配不均系数值与主要趋势和结论之间的差异与方法3相似。利用温度作为计算参数的方法4显著依赖于热通量。速度、压力和温度函数的tanα平均值与方法3中的非常相似,分别为0.00560.00730.0062
03 量化比较
为了比较使用各种参数定量计算流量分配不均系数的各种方法(k=1,2,34),根据等式(19)(20)引入了每种方法的标准偏差。它显示了特定方法是否为所用的每个参数(速度、压力或温度)提供了描述流量分布的相似数值。根据前面的分析,无论使用什么参数进行计算,一个好的指标都应该显示相同(或非常相似)的值。低标准偏差意味着特定的流量分配不均系数在几个热工水力参数之间没有显示出很多差异。  

由于流量分配不均系数已经是一个百分比值,因此标准差的单位应解释为一个百分点(pp)  
在图16中,显示了速度、压力和温度之间的不均匀分布系数的标准偏差,选择该系数作为Rech=115和变化的热通量的计算热工水力参数。在这种数据的图形表示中,可以总结出上述所有考虑因素。方法2的最低平均标准偏差为0.58 pp。其他方法显示出明显更高的标准偏差。此外,方法2是唯一一种在整个热通量范围内标准偏差几乎相等的方法。  

图16 各种计算方法的各种热工水力参数之间分配不均系数的标准偏差,通道Rech的平均雷诺数为115,热通量q50607080 kW/m2  

在图17中,显示了速度、压力和温度之间的分配不均系数的标准偏差,该系数被选为50 kW/m2q和变化的雷诺数的计算热工水力参数。可以看出,方法134的标准偏差对雷诺数非常敏感。无论工作流体的入口速度如何,良好的流量分配指示器都应为所有热工水力参数提供相同的结果。似乎与这些变化无关的唯一方法是方法2。此外,它给出了0.58 pp的最低平均标准偏差。  

17 各种计算方法的各种热工水力参数之间分配不均系数的标准偏差,热通量q50 kW/m2,通道Rech的平均雷诺数为115230345460


结 论  

总之,流量分配不均的现象是世界各地科学家研究的主题。主要注意力集中在由公共入口和出口歧管连接的平行小通道组中的流体分布。如前所述,有许多方法可以量化流量分配不均。然而,各种方法使用不同的热工水力参数,并将最小值、最大值或平均值相互比较。此外,一些方法仅用于压力分布,而其他方法使用温度或速度。方法的多样性很大,导致结论不一致。此外,流量分布不均系数的变化导致难以比较不同研究的值。即使使用的数据描述了相同的结果,流量分配不均系数也会因选择的方程而异。  
在目前的研究中,使用根据方程(15)–(18)描述的每种方法的所有热工水力参数对最常见的流量分布量化方法进行了比较。这种方法使我们能够看到特定的方法如何与特定的热工水力参数一起工作。在分析过程中,得出的结论是,最佳流量分配不均系数应对每个热工水力参数产生相同的结果。此外,它不应受到热通量的影响,因为温度分布是流量分布的结果,而不是原因。  
就所有热工水力参数的稳定结果而言,流量分布的最佳定量指标是公式(16)中的方法2。它可以简化为方程式(21)所示的形式。归一化的流量分配不均系数可以考虑任何归一化的热工水力参数Fn(归一化的通道速度、归一化的通道压降、归一化的通道温降())。第I个通道中的归一化热工水力参数可由等式(22)定义。  

翻译转载自《Nature》子刊Scientific Report "Comparison of various fow maldistribution quantifcation methods in mini heat exchangers"

来源:多相流在线
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首次发布时间:2024-11-08
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PNAS:基于机器学习从湍流结构预测统计数据:以循环流动模式作为二维湍流的基础

0. 研究意义 湍流领域的一个长期挑战是将个别的相干结构与流动的更为众所周知的统计特性联系起来。在本文中,我们通过将二维湍流表示为在流动中瞬时实现的精确不稳定周期轨道之间的马尔可夫链,建立了这一联系。为了找到动态相关的解,我们开发了一种基于标量损失函数优化的方法,这种方法克服了以往算法的限制,并在高雷诺数下具有良好的效果。随后,我们使用神经网络根据最近的不稳定解对湍流快照进行标记,从而实现马尔可夫表示,其不变测度可以重现混沌流动的完整概率密度函数(PDFs)。 1. 摘要 动力系统方法将湍流视为在高维状态空间中的轨迹运动[Hopf, Commun. Appl. Maths 1, 303 (1948)]。混沌动力学由填充惯性流形的不稳定简单不变解所塑造。研究的希望是将这种图景转化为一种预测框架,在其中流动的统计特性可以通过各个简单不变解的统计量的加权和来得到。然而,两个突出的障碍阻碍了这一目标的实现:1)已知解的匮乏,以及2)缺乏预测所需权重的合理理论。在本文中,我们描述了一种方法,可以实质性地解决这些问题,从而提供有力的证据,证明可以通过一组不稳定的周期轨道来重建完全发展的湍流流动的概率密度函数(PDFs)。我们寻找解的方法使用了自动微分技术,通过最小化与轨迹相关的损失函数构建高质量的初始猜测。我们利用这种方法在湍流的二维Kolmogorov流中找到了数百个解。随后,通过将湍流轨迹转化为马尔可夫链来学习权重,并利用深度卷积自编码器确定给定快照的最近解,从而计算出稳健的统计预测。在本研究中,我们成功地用一组简单的不变状态重现了时空混沌系统的PDFs,并且我们提供了一个自维持动力学过程与湍流更为人熟知的统计特性之间的有趣联系。2. 绪论 对于湍流的广为人接受的观点最初由Hopf倡导,是将湍流视为在非常高维状态空间中的轨道。湍流被认为是在这个轨道“弹跳”于不稳定简单不变解之间时的瞬时实现。这一观点对机械理解(可以在个别解的动力学中找到)以及量化个别动力学事件与长期统计之间的关系都很有吸引力。近几十年来,实现这一方法的尝试极大地改善了我们对过渡剪切流的理解:例如,管道中湍流的出现已经被与在某些临界雷诺数Re之后鞍结分岔中出现的有限振幅行波解的出现联系起来,而在所谓“最小”湍流配置中发现的不稳定周期轨道(UPOs)则揭示了在壁面湍流中起作用的一些自维持机制。然而,由于计算方法的局限性,无论是在寻找UPOs方面还是在使用它们标记完全发展的湍流实现方面,这些想法在高Re流动中的扩展都受到了限制。对于完全发展的湍流,动力系统的观点设想状态空间中布满了简单的不变解(平衡态、行波、不稳定周期轨道),其复杂交织的稳定和不稳定流形为湍流的“弹球”运动构建了支架。这一图景提出了一种基于适当加权的不变解特性的预测理论,其中权重反映了在该解附近停留的相对时间。然而,找到足够多的重要解,更不用说识别出适当的权重,已经被证明是极其昂贵的。特别是在高雷诺数(Re)下,不变解的集 合急剧增加,并且每个解变得越来越不稳定,阻碍了它们的识别。一个核心且广为人知的问题是,牛顿-拉夫森根寻找算法在高维问题中对初始猜测质量的敏感性。过去的工作主要依赖于“循环流动分析”来生成足够好的不稳定周期轨道(UPO)猜测,其中要求湍流轨道至少在一个完整周期内与UPO重合。在实际操作中,这对UPO的不稳定性设定了一个限制,随着雷诺数(Re)的增加,极大地阻碍了搜索。第二个问题是识别流动何时几乎重现的策略。通常这只是通过初始和最终状态之间差异的欧几里得范数来完成,因此,近似重现的阈值必须设定得相当高。最后,第三个缺陷是许多动态相关的周期轨道尚未被发现,特别是那些耗散率高于平均水平的轨道。这些困难促使了一些替代方法的出现,用于生成猜测,甚至是UPO的识别,但即使在最简单的稳态湍流模型问题中,这些方法也未能充分证明动力学与统计之间的联系。即使拥有完整的UPO集 合,一个深刻的理论问题是如何预测每个UPO在湍流流动的“UPO展开”中应被计入的权重。周期轨道理论提供了一种在低维动力系统中有效的理论方案。然而,将这一理论应用于Navier–Stokes方程仍然具有挑战性。早期将该理论应用于二维Navier–Stokes方程的尝试显示,其效果并不优于使用等权重的对照实验,尽管可用的解集显然太小。在这一点上,甚至确定是否有可能用UPOs来展开任意湍流流动,仍然是流体力学中的一个未解问题。在本文中,我们提出了解决这一问题的计算方法,这些方法克服了许多早期的限制,介绍了用于寻找和收敛不稳定周期轨道(UPOs)以及通过标记湍流数据来定义权重的方法,该标记基于在状态空间中哪个解最接近。与早期工作相比,我们的UPO检测方法不需要精心构建初始猜测,并且能够产生大量动态相关的UPOs。为此,我们改进了最近开发的完全可微分流动求解器,通过对涉及整个解轨迹的损失函数执行梯度下降,我们能够找到UPO的高质量猜测。这使得我们能够显式搜索具有某些特性(例如高耗散率)的周期轨道,并且能够成功地从任意的湍流快照开始收敛大量的UPOs。随后,我们训练了深度神经网络,以学习湍流的精确低阶表示,我们可以利用这些表示来测量在任何时刻湍流轨道最接近哪个UPO。结果是一个马尔可夫湍流动力学,它不仅允许我们通过链的不变测度定义UPOs的权重,还提供了对极端事件路径的洞察。从不变测度中发现的权重可以稳健地再现湍流吸引子的统计特性,包括完整的耗散概率密度函数(PDF),实现了Hopf的原始设想。虽然我们在模型问题中开发了这些方法,但其底层方法论有望改变我们对更高雷诺数(Re)下典型流动的理解。3. 周期轨道搜索策略 3.1 二维湍流我们在广泛研究的湍流“Kolmogorov”流中展示了我们的不稳定周期轨道(UPO)搜索方法:在这里,我们研究的是在周期性域中的二维单色强迫湍流。其控制方程为:该问题通过垂直方向上的基波数进行无量纲化,我们使用常用的强迫波长n=4。我们还经常使用面外涡量,无论是在收敛精确解的公式中还是在用于标记发现解的神经网络训练中。我们考虑了两个雷诺数Re = 40和Re = 100,在这些情况下观察到自维持湍流,其中Re = 100的情况明显处于渐近区(16)。在Re = 40时,之前已发现大约50个UPOs,且它们的平均耗散率都较低,而在Re = 100时仅收敛了9个UPOs。控制方程[1]在水平方向的连续平移下具有等变性。因此,许多简单的不变解是相对平衡态(行波)或周期轨道。同时,还存在离散平移反射对称性和旋转对称性。在此,我们寻找具有某一周期和位移的相对不稳定周期轨道(RPO),其满足以下条件:3.2 自动微分用于周期轨道我们使用JAX-CFD求解方程1(以及材料与方法中描述的等效速度-涡量形式),JAX-CFD是一个完全可微的流体求解器,可以通过自动微分计算时间前向映射,相对于初始条件的梯度,并达到机器精度。这种能力构成了周期轨道搜索策略的基础。我们使用了JAX-CFD的“标准”有限差分原始变量公式和光谱涡量版本。前者用于构建稳健的周期轨道猜测,原因将在下文讨论,而后者用于在牛顿求解器中的最终收敛以及与先前报道的结果进行比较(所有这些结果都是通过光谱代码获得的)。与早期通过在时间序列中识别“近似重现”并将其直接输入到根求解器中来寻找UPO的尝试相比,我们的方法是通过标量损失函数的基于梯度的优化进行搜索——无需任何显式的初始条件选择。这个损失函数只是方程2的一个缩放范数:并且它依赖于初始条件u、未知的位移,α和周期T。使用JAX库及其扩展可以高效地计算所有这些变量的梯度。通常情况下,我们认为那些可以将损失降低到L≤0.015的猜测适合传递给牛顿求解器进行进一步处理——直接使用优化器收敛的速度太慢,因此它被用作牛顿方法猜测的有效预处理器。在Re = 40时,我们还将明确针对某些周期T*,并尝试找到平均耗散率高于某些阈值D*的周期轨道(此类UPO在先前的结果中大多缺失)。我们通过在损失函数中添加适当的项来实现这一目标:JAX-CFD 的原始变量公式允许存在恒定的背景垂直速度。上文描述的基本“Kolmogorov”流动中,但原则上该问题允许任意一均匀的跨流速度,一旦设定后,其在时间上保持恒定。添加这一效应将改变周期轨道——其中许多轨道可能通过同伦方法回到v0=0——并且还可能在鞍节点分岔中引入与原始配置无关的新解。在此,我们发现添加这一效应总体上是积极的,因为它可以防止优化器陷入浅局部极小值——这在直接使用JAX-CFD的光谱涡量公式进行搜索时是一个常见问题。最近在一种变分公式中尝试寻找周期轨道时也有类似的观察,其中使用了非散度速度场作为初始猜测。在基于梯度的优化后,使用JAX-CFD的光谱版本进行UPO的牛顿收敛时,不可能存在恒定的背景流,因为我们通过Δψ=-ω解诱导速度,假设流函数ψ是周期性的,由此得到u和v。对于短周期(T≈10,Re=40),弱背景垂直速度对UPO的影响较小,光谱牛顿求解能够在几步内收敛到附近的v0 = 0解。对于较长周期,弱垂直流的影响更大,但通常可以通过附加的优化过程有效地消除,这一过程会对垂直速度进行惩罚:在这种情况下,我们设置μ = 103并使用较小的学习率(通常为η = 10-2)来小心地将近闭合回路变形为垂直速度接近于零的状态。4. 不稳定周期轨道 4.1状态密度在Re = 40时的表现我们首先在研究较多的Kolmogorov流动问题中展示我们方法的威力,雷诺数为Re = 40。尽管许多前人已经研究过这一配置,但我们仍然对其状态密度随周期ρ(T)的变化知之甚少,也未能识别出任何局部高耗散的不稳定周期轨道(UPOs)。受此启发,我们使用损失函数 [4a] 对特定周期的解进行了全面搜索。鉴于周期轨道理论中“素周期”(prime cycles)的重要性,我们首先聚焦于短周期。我们在该范围内以 0.5 为步长递增目标,并在每个步长处进行 50 次优化计算。每次计算均由湍流吸引子的随机快照初始化。此前已知在此范围内存在四个解,周期为T∈ {2.83, 2.92, 5.38, 6.72}。我们还使用损失函数 [4b] 初始化了对高耗散解的独立搜索。我们进行了三次计算,搜索平均耗散率高于阈值的解。在变量v0公式中,大量解被收敛,尽管在目标T*上成功率不一。找到这些常见解是预期之内的,但我们也发现了许多之前未知的大量解。事实上,对于T < 8的情况,我们收敛了38个独特的解,其中包括许多以前搜索方法无法访问的高耗散状态。值得注意的是,这些短周期解几乎涵盖了整体流动中产生和耗散事件的全部范围(见图1右侧面板)。实际缺失的是低耗散事件——这些事件与较慢的动力学相关,UPO通常具有较长的周期。为找到这些状态,我们还搜索了目标周期为T*∈{12.5, 15, 17.5, 20}的解。通常情况下,优化器在面对这些较长周期的轨道时表现困难,因为从随机初始条件开始,fT(u)很可能在解流形上离得很远,梯度信息并不特别有用。然而,我们确实获得了几个较长周期的解,它们全都是低耗散的。这部分工作将从更仔细的初始条件选择方法中获益,以确保fT(u)在解流形上“接近”,而不必依赖近似重现。图1. (左图)所有在 Re=40时周期 T<8 的收敛轨道的耗散与周期的关系(平均耗散率以白色方框表示)。参考文献16中列出的四个已知解以蓝色标识,平均耗散率以圆圈表示,周期为 T∈{2.83,2.92,5.38,6.72}(周期为 T=7.16 的解也可能在参考文献27中被发现)。用十字标识的解稍后将在图2中展示。(右图)在 Re=40 时所有收敛解的能量产生与耗散的关系,包括左图未显示的一些较长周期的轨道(所有收敛的UPOs在附录中列出)。湍流状态的概率密度(从长时间计算运行 tlong=2.5×105 得出)以灰色显示。等高线级数以对数间隔,最小值为 10−6。所有数值均以层流值 Dl=Re/(2n2) 归一化。我们在图2中检查了一些𝑅𝑒=40的不稳定周期轨道(UPOs),并在轨道上的四个点报告了面外涡量的快照。低耗散解(图中显示了𝑇=2.83的UPO)都具有一个共同的结构,即涡旋结构位于一对倾斜的涡量条纹之上(这让人联想到该配置中的第一个非平凡平衡解)。在𝑇=2.83的情况下,周期对应于右侧面板中一个椭圆形涡旋块的完整旋转;周期为𝑇=5.38的轨道类似,但涉及的是同号涡旋对的旋转。图2. 面外涡量在𝑅𝑒=40下的三个不稳定周期轨道(UPOs)上以时间等间隔提取的四个点处的快照。(顶部)在𝑅𝑒=40时最短的轨道——已知的𝑇=2.83解,平均耗散率⟨𝐷/𝐷𝑙⟩=0.095。(中间)一个新的高耗散UPO,周期为𝑇=2.90,平均耗散率⟨𝐷/𝐷𝑙⟩=0.246。(底部)一个新的高耗散UPO,周期为𝑇=3.27,平均耗散率⟨𝐷/𝐷𝑙⟩=0.285。在所有情况下,等高线的范围为−10到10。这些解都在图1中用十字标识。相比之下,高耗散结构表现出更加多样化的动力学。例如,图2中报告的两个“爆发”UPO之一具有晶体状结构,其周期内保持着四个大振幅的涡核。图2中的另一个高耗散解则表现为一个强大的偶极子结构,从左到右穿过域移动。不出所料,许多新解具有比先前记录的解更高维度的不稳定流形(详见附录中的完整细节)。4.2 雷诺数Re=100时的周期轨道我们现在将注意力转向雷诺数Re=100下的强湍流情况,此前通过任何方法仅获得了少数几个解。在该Re值下先前获得的九个解均为短周期,T<5。我们在此报告的大多数解都是使用基本损失函数[3]计算的,未添加其他物理条件(例如,方程4a和4b中包含的内容)。我们初始化了大量计算,起始周期从T0∈{1,2,3,4,5}中选择,另外也对T0=2.5进行了计算,这是受T0=2和T0=3计算成功率的启发。当一批大约100次的猜测未能产生新的、未包含在我们已收敛的UPO集 合中的解时,我们停止了这些计算。我们还使用损失函数[4b]进行了高耗散搜索,寻找平均耗散率⟨D/Dl⟩≥0.03的周期轨道,但发现这远不如在Re=40时的等效计算有效。相比之下,标准损失函数[3]无需扩展便返回了广泛的周期轨道,而不是相同的一组解。总体而言,我们观察到解收敛的成功率在5%到15%之间,取决于起始周期的选择。需要强调的是,过程中的起点是来自湍流计算的随机快照,这与其他方法形成对比,后者的成功率接近于零,即使猜测是经过更仔细构建的。到目前为止,我们的计算在Re=100时共产生了151个独特的UPO,这些状态总结在图3中(完整列表见附录)。在这里,我们看到大多数UPO在相空间中表现出高度的局部化,几乎都以二维投影中的小闭合环出现。当从动能E的角度可视化时,这些状态表现得更加局部化(见附录,图S4),并且为了全面覆盖相关的湍流概率密度函数(PDFs),需要比在Re=40时的等效计算更多的状态。图3. 在Re=100时能量产生率与耗散率的关系。灰色背景是从长时间湍流计算tlong=2.5×105得出的概率密度函数(PDF)。等高线级数以对数间隔,最小值为 10−6。闭合环是151个收敛UPO的二维投影。所有数值均以层流值 Dl=Re/(2n2)归一化。所有周期轨道及相关属性(周期、位移、Floquet指数)均列在附录中。我们在图4中展示了一些收敛的UPO。解表现出多种不同的动力学行为。通常,这些状态主要由两个大涡块主导[由于逆向级联所致]——见图4中间两排。在这种类型的解中存在很大差异,除了图中所示的行为(例如,一个强大的静止涡旋和一个共转涡旋对),还存在具有三个或更多同号共转涡旋的状态——详见附录。更强耗散的状态(图4的顶部和底部)显示出更加多样的涡量动力学,需要进一步的工作来评估我们方法所发现的各种UPO“类别”。图4. 面外涡量在 Re=100下的四个UPOs上以时间等间隔提取的四个点处的快照。从上到下,UPOs的周期和平均耗散率分别为:(T,⟨D/Dl⟩)=(1.424,0.057)、(1.794,0.053)、(4.212,0.027)和(1.164,0.078)。涡量等高线级数在 ±10之间。5. 从周期轨道影子中构建马尔可夫链 5.1 识别UPO影子鉴于我们找到的众多收敛UPO及其在 Re=40 时对I–D平面的特别良好覆盖,我们现在尝试通过标记湍流时间序列快照,找出哪个UPO“最接近”,以验证并可视化Hopf的原始猜想。我们的目标是使用我们收集的UPO来划分状态空间,并将湍流轨道转化为离散时间马尔可夫过程的实现。为了准确测量到最近UPO的距离,我们在“DenseNet”配置中训练了高度精确的深度卷积自动编码器(有关完整的架构和训练细节,见材料与方法),并将使用基于这些网络中的潜在表示的可观测量,而不是物理空间中快照之间的距离。这些模型的准确性已在我们最近的工作中展示过,覆盖了广泛的Re范围——即使在罕见的最高耗散事件中,准确性也得到了保持。这些自动编码器由编码器 E:RNx×Ny→Rm(其中 m=128在 Re=40 时,m=512在 Re=100时)和解码器 D:Rm→RNx×Ny组成,使得[D∘E](ω)≈ω。给定一个编码后的快照E(ω),我们首先通过将E投影到所谓的“潜在傅里叶模态”上来构建一个流向平移不变的可观测量,这些模态是离散平移算子 TαE(ω):=E(Tαω)(对于某些固定的流向平移α)的特征向量。然后,我们使用这些投影构建一个向量可观测量ψ(ω),其具有性质ψ(Tsω)=ψ(ω)对于所有s∈R(详细信息见材料与方法)。最后,我们计算每个周期轨道以及它的15个离散对称 品的周期平均值 {⟨ψ(SmRqft(ωj))⟩T:0≤m≤7,q∈{0,1}}。最近的周期轨道与快照 ω\omegaω 的对应关系根据以下方式确定:其中1≤j≤Np(Np是在给定Re下我们库中周期轨道的总数),并且我们在每个时间点上搜索离散对称性。由于我们的大多数UPOs都是短周期且在相空间中局部化的,因此与UPO嵌入的时间平均值进行比较是稳健的,尽管更复杂的方法也可以在时间方向上进行搜索。我们在Re=40时构建了长度为T=2.5×104的长轨迹,在Re=100时构建了长度为T=104的长轨迹,其中快照在前者中以δt=1的间隔分隔,在后者中以δt=0.25的间隔分隔。每个案例中的快照间隔都是基于我们库中UPO的典型周期(例如,在Re=40时常见的周期为T∼5,而在Re=100时,许多解的周期为1≤T≤2)以及观察周期解“影子”动力学发生的动机。湍流时间序列被转换为形式为 POi→POi→POi→POk→POj→POj→⋯的标签序列。5.2 离散时间马尔可夫链和统计预测图5展示了上述UPO标记协议的一个示例,我们在此为了说明目的使用了更精细的δt。图中的示例显示了一个扩展的高耗散爆发事件,该事件在大约t∼30时恢复到较为平静的低耗散动力学。曲线根据方程6确定的最接近的UPO进行着色,这表明流动在长时间内保持接近某个特定的UPO,并且这一特定序列可以通过少量的精确解很好地描述。事实上,这个示例轨迹超过一半的时间都在接近仅四个UPO的区域内,高耗散事件多次采样相同的解(图5中的深蓝色曲线,另见图例)。我们将该示例轨迹沿途的快照与图右侧面板中最接近的UPO的快照进行比较,可以看到湍流中的许多相似的定性流动特征在周期解中得到了再现。同时也清楚地表明,匹配还可以进一步改善——更稳健的标记协议也可以在所有UPO的时间方向上进行搜索,尽管这样做会显著增加计算开销。图5. (A) 在 Re=40 时耗散率的示例时间演化,颜色根据方程6确定的最近UPO进行标记。在此区间内最频繁访问的五个UPO在图例中突出显示,并以其周期 TTT 进行标注。(B) 涡量的快照(顶部)来自用于生成(A)中耗散图的直接数值模拟 (DNS),快照对应的时间在(A)中用方框/数字标识,同时也展示了最接近的UPO的快照(底部),其中我们选择了水平位移s和轨道上的时间τ,以最小||ω−Tsfτ(ωPO||2。我们现在使用上一节末尾描述的长时间序列来构建转移概率矩阵P,其元素为 Pij:=P(POi→POj)。通过简单地计数状态之间的转移,然后对行进行归一化∑jPij=1∀i,可以轻松计算出这一量。图6A展示了Re=40时的转移矩阵,其中状态按耗散排序(低耗散在顶部,高耗散在底部)。我们还展示了通过πTP=πT获得的不变测度。图6. (A)在Re=40时的不变测度π和转移矩阵P(显示为转移概率的对数,快照间隔为 δt=1)。状态按平均耗散率从低到高排序(最低在顶部/最左侧)。红色水平线标识了文中讨论的网 关或“混合”状态。红色垂直线强调了具有有限转移概率进入该混合区域的广泛状态范围,涵盖了高耗散和低耗散事件,而虚线垂直线表示文中讨论的 D/Dl=0.15的“阈值” 。(B) 展开式 [7] 中的权重(也是马尔可夫链的不变测度wj=πj)与每个UPO的增长Floquet指数之和(取其实部)∑jσj,σj>0的关系图。转移矩阵中存在许多有趣的特征,值得进一步讨论。转移矩阵通常在其对角线上显示出最大的概率,这意味着对于大多数状态而言,最有可能的结果是在该特定UPO附近停留另一个时间片刻(此处为δt=1在Re=40时)。这与湍流轨道“影子”单个循环解的行为一致。非对角线上的非零概率还表明,转移倾向于发生在具有相似耗散率的状态之间。在Re=40时,混沌动力学可以分为低耗散的“静止”状态和较为罕见的高耗散爆发事件(大致归一化耗散 D/Dl≳0.15),这一划分在图6的转移矩阵中很明显,其中图中的状态按平均耗散排序,值D/Dl=0.15用黑色虚线标出;在高耗散状态之间有多条路径,然而这些爆发事件的转移似乎通过少数几个低耗散的网 关UPO(大约4个)发生,这些UPO也能将系统抛回到非常低的耗散状态(见图6中的红色线条)。湍流的马尔可夫视角可以扩展为以周期轨道理论为基础进行统计预测。为此,我们寻求一组固定的权重{wj}Npj=1,其中Np是找到的UPO的总数,使得任何可观测量γ:M→Rn在状态空间 M上的空间平均可以构建为UPO统计量的线性叠加。其中Γ是正在考虑的平均值,而Γj是针对周期轨道j计算的相同统计量。根据我们的转移矩阵,我们可以简单地将权重定义为wj≡πj,其中∑jwj=1(根据定义)。这些权重在图6的下方面板B中作为基础UPOs不稳定性的函数进行了分析(通过Floquet指数的增长率之和来衡量)。权重与不稳定性水平呈负相关,其中高度不稳定的状态在重构中显得不太重要。这反映了这样一个事实:高度耗散的UPOs(它们对分布中非常弱的右尾贡献)往往更加不稳定。为了展示上述UPO展开式[7]的表现,图7A报告了在Re=40时的长时间范围内(tlong=2.5×105)计算的耗散率、能量产生率和动能的PDF,并叠加了通过表达式(如方程7)计算的基于UPO的PDF。无论是耗散还是产生的再现都非常完整——尽管我们缺少一些与较长轨道相关的非常低的值(如前文所述)。在这两种情况下,最值得注意的是高 DDD/高 III 尾部的精确重构,这在所有先前的尝试中都未能实现。动能E也被重现得相当高标准[特别是与以往尝试应用周期轨道理论的结果相比]。缺失的状态在E/El∼0.35和E/El∼0.45处,可能与缺少最低耗散的轨道有关。在附录中对此进行了进一步探讨,我们还展示了解在能量-耗散平面上的分布。图7. 基于UPO的统计预测,这些预测是根据马尔可夫链的不变测度计算的,定义了UPO展开中的权重(方程7),适用于(A) Re=40 和(B) Re=100(转移矩阵在附录中报告)。从左到右的前三个面板显示了耗散率、产生率和能量的概率密度函数(PDF):虚线蓝色曲线是通过长时间湍流计算(tlong=2.5×105)获得的“真实”PDF,而填充的灰色曲线是基于UPO的重构。最后两个面板比较了平均速度剖面和均方根速度波动(左侧为u,右侧为v))——在流向、离散对称性和时间上取平均值。蓝色和橙色曲线分别表示u和v的DNS真实值,黑色曲线表示基于UPO的重构。图7A还测试了UPO预测的平均速度剖面和均方根速度波动(同样使用相同的权重),这些结果在离散对称性、流向坐标和时间上取平均值。所有三个预测值都接近真实的时间平均值,这再次表明UPO基于预测的表现相较于以往的最先进方法有了显著提升。在图7B中,我们使用在 Re=100 时收集的大量151个UPO进行了类似的分析。对应的转移矩阵包含在附录中,表明存在影子效应,但在平均耗散上可能的转移大范围分布——尽管显然这一图景尚不完整,因为我们缺少许多重要状态,这一点从之前的结果中可以看出(例如图3)。尽管如此,图7B中报告的统计数据是令人鼓舞的,代表了即使在更低 Re 时也无法实现的显著进步。特别是,平均剖面的预测几乎完美,而均方根速度的误差仅为 O(10%)。PDF显示,缺失的状态与更大的耗散和能量值相关,这里概述的UPO搜索过程为通过进一步计算填补这些空白提供了明确的策略。6. 讨论 在本文中,我们汇集了令人信服的证据,支持湍流是一种在不稳定简单不变集 合之间弹跳的高维“弹球”的观点(这一观点通常归功于Hopf)。为此,我们设计了一个方法来找到大量动态相关的不稳定周期轨道(UPO)——这是该领域长期存在的局限性——并提出了一种方法,通过最近的UPO对湍流快照进行准确标记,其中距离在深度卷积自动编码器的潜在空间中测量。结果是湍流的马尔可夫图景,这在适中的雷诺数下不仅提供了对动态路径和极端事件路径的洞察,还提供了对混沌动力学的稳健统计预测。UPO搜索策略被构建为一个基于梯度的优化问题,并在一个完全可微的流动求解器中实现。基于损失的这种方法允许针对具有特定特征的解(例如,高耗散、高能量)进行定向搜索,在适中的雷诺数 Re=40 下应用此方法揭示了大量先前无法检测到的短周期解——包括高耗散和低耗散。该方法在更高的雷诺数 Re=100 下仍然有效,我们再次发现了大量短周期解。在高雷诺数下的状态在状态空间中表现出高度局部化,并显示出丰富有趣的涡旋动力学。为了根据最近的UPO对涡量快照进行标记,我们训练了高度精确的深度卷积自动编码器,并使用这些网络的低维潜在空间中的可观测量来衡量相似性。然后,我们能够将长时间的湍流时间序列视为马尔可夫链,其中每个UPO都是一个独立的状态,构建转移矩阵,并使用其不变测度进行统计预测。在 Re=40 下,该方法特别有效,因为新的UPO库几乎涵盖了完全湍流状态下看到的产生和耗散事件的全范围,结果是统计预测非常稳健。即使在 Re=100 下状态集不完整,速度矩统计的预测也相当稳健,并且相较于以前的方法,即使在更低的雷诺数下也是一个显著的改进。尽管收敛了大量新解,仍然有一些重要的状态在 Re=40 时缺失,而在 Re=100 时则缺失了大量解。这些空白中的一些(例如 Re=40 时的低耗散事件)可能会从改进的快照选择过程受益。在当前配置中,改进可能涉及诸如仅选择返回到状态空间相似区域的快照——不是近似重现,而是更弱的要求,例如通过这里训练的自动编码器确定——或者通过搜索离散对称性。这在研究更复杂的三维流动时可能是一个重要的考虑因素。尽管如此,在 Re=100 时状态空间覆盖中的大范围空白,结合组装解时不断增加的计算成本,自然会引起一些关于“UPO-弹球”概念适用性的担忧,以分解二维和三维多尺度湍流的高雷诺数流动的统计数据。例如,在 Re=100 时使用 T≈2.5 的新解收敛,网格点数为 Nx×Ny=512×512 时,平均需要约24小时的GPU计算时间(使用Nvidia V100显卡,此计算假设从随机湍流快照开始的成功率为5%)。此外,还有用于标记快照的自动编码器训练成本(在约105个快照的训练数据集上需要约48小时的GPU时间)以及构建稳健的马尔可夫链所需的长参考轨迹成本——这本身就产生了准确的统计数据,UPOs用于重构这些数据。即使完全的统计覆盖具有挑战性,寻找具有特定物理特性的精确循环流动的能力也非常有用,如果目标是理解个别动态事件在诸如能量级联等众所周知的统计现象中的重要性。同样值得注意的是,三维情况可能与本文研究的二维流动有很大不同:在二维情况下,我们预计在高雷诺数下获得的一些解可能会在 Re→∞ 时连接到欧拉方程的解,这些解预计会形成充满域的涡旋,而有壁湍流预计需要更复杂的多尺度描述,具有附着于边界的不同大小的涡旋。早期对三维最小流动单元中弱瞬态湍流的研究表明,个别UPOs的统计数据有时可能与湍流本身非常相似,这为三维情况提供了谨慎的乐观态度。本文概述的UPO搜索方法使我们能够明确针对我们迄今为止构建的PDF中的空白进行搜索,我们相信这一能力意味着尽管目前所需的计算时间似乎很极端,但仍有可能通过UPOs实现稳健的统计覆盖。方法的许多方面都有改进的空间,这些改进可能会加速搜索过程,包括i) 更加考虑的初始快照选择和ii) 修改优化(例如通过改变范数)以提高收敛率。这种表示的潜力远远超出简单的统计重构:UPO表示允许计算混沌系统的敏感性,而通常统计量的梯度是不可计算的,而最大的希望是在一个雷诺数下的构建可以用来评估个别动态事件在更高雷诺数下的统计中的作用,通过延续解及其权重。7. 材料与方法 7.1 模拟使用JAX-CFD的有限差分版本进行的模拟在大小为 Nx×Ny=256×256 的网格上进行,雷诺数为 Re=40,以及在大小为 Nx×Ny=512×512 的网格上进行,雷诺数为 Re=100。对于算法中的牛顿求解组件,我们使用了JAX-CFD的光谱版本,并在光谱模拟中将分辨率与前期有限差分优化中的分辨率匹配。时间步长由基于速度估计的CFL条件决定,该速度估计是层流基本剖面的两倍,即 2×Re/(2n2),这一速度通常比湍流状态下观察到的速度大得多。代码的光谱版本在涡量-速度形式下求解Navier–Stokes方程,其中 ω:=(∇×u)⋅z(与方程1相比)。与有限差分的原始变量公式不同,没有可能的背景恒定流动。每个时间步的速度场都是由涡量引起的,并通过求解泊松方程 Δψ=−ω 找到,其中流函数 ψ 通过以下关系导出诱导的速度分量:u=∂yψ,v=−∂xψ。8. 神经网络和距离度量 8.1 架构卷积自动编码器是编码器 Em 和解码器 Dm 的组合,使得通过编码器Em:RNx×Ny→Rm进行降维,其中我们在Re=40的数据中将m固定为128,在Re=100时固定为512。编码器是一个全卷积架构,降维通过在卷积“密集块”后的最大池化来完成。每个密集块由三个连续的卷积层组成,每个层接收前一卷积层的输出并与同一密集块中的所有上游层的输出连接。每个密集块内的卷积都会创建额外的32个特征图。每个密集块后,我们应用最大池化,接着是一个卷积层,将特征图的数量减少到32。整个编码器由六个密集块/最大池化组合组成。在最内部的表示中,编码器生成一个形状为4×8×M的图像,其中 M=m/32(m是最内部潜在表示的指定维度)。Kolmogorov流中的离散平移反射对称性确定了垂直方向的值“8”。在整个网络中,我们使用“GELU”激活函数,除了解码器输出使用tanh(输入数据被归一化ω→ω/ωnorm使得max|ω(x,y)|≤1)。解码器模块的结构与编码器相似,但顺序相反,使用上采样代替最大池化。8.2 训练我们使用修改后的“均方误差”作为损失函数:其中额外的项(对涡量平方的均方误差)旨在鼓励网络学习高效地表示更为罕见的高耗散事件(而不是改变基础数据的分布),因为该项在整体损失中占据越来越重要的地位。我们在每个 Re 下使用 N=105 样本进行训练,这些样本由1000个独立轨迹组成,快照间隔为一个对流时间单位。我们应用了数据增强:在x和y方向上随机平移,并应用旋转对称性。所有模型都使用Adam优化器,学习率为η=5×10−4,并训练500个周期,批量大小为64。8.3 潜在傅里叶分析潜在傅里叶分析是一种自动编码器可解释性技术,它利用了控制方程/边界条件中的连续对称性。在潜在傅里叶分析中,我们寻求一个操作符来对涡量场的嵌入进行连续平移,即在实际操作中,我们使用 “动态模态分解”算法来确定一个近似Tα,它为测试数据集的嵌入及其α平移对应项之间的映射提供了最佳(最小二乘意义上)的操作符。经验上,我们观察到随着α的逐渐减小,只有少量非零的潜在波数会达到饱和(在Re=40时lmax=3,在Re=100时lmax=7),这表明网络嵌入的模式具有由l设置的基本周期性。每个潜在波数可能是高度简并的。然后,我们可以写出一个快照嵌入的表示,受到任意平移 s∈R 的影响:这与标准的傅里叶变换有着明确的联系。这里,Pl是与波数l相关的简并特征空间上的投影算符:每个d(l)简并方向上的投影算符定义为,其中ξk(l)是子空间l中的特征向量,匕首符号表示伴随特征向量。为了定义我们的平移不变可观测量ψ(ω),我们对与l≤3相关的单个特征空间上的投影进行SVD(大多数能量都包含在这些模式中),通过特征值|λ|>0.9的数量确定简并度d(l)。然后使用每个子空间中SVD的左奇异向量确定平移不变的可观测量:通过将对l>0的投影取绝对值,确保了ψ(ω)≈ψ(Tsω)∀s∈R。与在物理空间中测量涡量场之间的距离相比,使用ψ作为可观测量显著提高了UPO检测中的循环流动分析的效果。翻译转载自:《PNAS》: "Recurrent flow patterns as a basis for two-dimensional turbulence: Predicting statistics from structures" 来源:多相流在线

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