定积分的精确定义

本文摘要（由AI生成）：

本文探讨了定积分与不定积分的关系，指出定积分是具体的数值，而不定积分是函数表达式，两者主要通过牛顿-莱布尼茨公式相联系。文章还强调了定积分的本质及其与数值积分方法的关系，并指出定积分的精确定义由黎曼提出。此外，文章还提及了曲线积分、曲面积分等与定积分的联系与区别。文章最后提到该内容来源于数值分析与有限元编程领域。

 定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

       计算定积分时，几乎都是用牛顿-莱布尼兹公式。该公式并没有很好的反映定积分的本质，并且很多情况下找不到原函数。只能用数值方法求解。目前，各种数值积分方法都是基于定积分的精确定义的。因此，弄清定积分的定义有助于理解这些数值算法。

【注】
（1 ）区间[xk-1，xk]长度可以是任意的，并不需要均匀划分，而f(ksi)在小区间的取值也是任意的，可以在端点，也可以在区间内部。
（2 ）若函数f(x)<0，曲边梯形在x轴下方，面积就是负的，即定积分的值是负的。
（3 ）当我们说到“a到b上的定积分”时，不要总认为a<b，事实上，a>b的情形也是可以的，只不过注意a<b时，dx>0。而a>b时，dx<0。

定积分的精确定义由德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)给出，故这种积分又称黎曼积分。曲线积分，曲面积分等与定积分既有区别，又有联系。