力学概念 | 集中质量法求自振频率

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了工程结构振动分析中的基本概念和方法。实际工程结构被视为无限自由度体系，其运动方程形成偏微分方程。以简支梁为例，其自由振动位移是位置和时间的函数。为简化计算，常采用集中质量法将连续分布质量转化为有限自由度体系。该方法涉及集中质量的数目、位置和大小取值。通过静力等效原则确定集中质量的大小。对于简单结构，如简支梁和对称刚架，可根据振动形态确定集中质量的位置。集中质量法可用于求解结构的低阶自振频率。对于对称体系，其主振型可能是正对称或反对称的。文章还介绍了其他力学概念，如等强度概念、桥梁墩柱稳定分析、结构极限荷载等，展示了力学在工程设计中的重要应用。

严格来说,实际工程结构都是质量连续分布的变形体,所以都属于无限自由度体系。此时,体系的运动方程除包含时间变量外,还需包含位置坐标变量,于是就形成了偏微分方程。以具有均匀分布质量    的单跨简支梁为例，当发生自由振动时，梁上任一截面处的动位移    既是位置标又是时间    的函数，而梁上任一处的分布惯性力为    。

▲图1

于是利用梁中任一微段的曲率关系及平衡条件(图1b)，可列出梁自由振动的微分方程如下:

上式是一个四阶线性偏微分方程。显然，更复杂的结构意味着更复杂的偏微分方程，求解也很困难。考虑到多数工程结构的动力响应是由若干个低阶自振频率及主振型控制的，因此采用更便捷的近似法求得较低的一个或数个频率，往往是工程应用所需要的。以下介绍常用的计算频率的近似法--集中质量法。

所谓集中质量法是把连续分布的质量按一定规则集中到结构的指定位置，从而将无限自由度体系简化为多质点的有限自由度体系的一种方法。该方法涉及如何对结构的分布质量进行集中的问题，包括集中质量的数目、位置和大小取值等。显然，集中质量的数目越多，求得的频率和振型的结果就越精确，但计算工作量也越大。实际应用中，宜根据具体需要确定其数目。例如只要计算几个低阶的频率，一般并不需要太多的质量数目。至于集中质量的位置，则应根据所求结构的振动形态，将质量集中于振幅较大的位置。关于集中质量的大小取值，一种较实用的方法是依据静力等效原则将质量集中到每个杆段的两端，并使各杆段的重量在质量集中的前后静力等效。

▲图2

对于图2a所示简支梁，用集中质量法求的自振频率。已知梁    、    均为常数。如果只需求一阶频率，则至少需将梁简化为具有一个自由度的体系。为此将梁平分为两段，每段的质量集中于两端。考虑到质量分布是均匀的，故每端各得该段一半的质量，于是可建立图2b所示的单自由度体系。由柔度法求得该体系第一频率的近似解为    

同理，如果将梁各分为三段和四段，每段质量集中于其两端，则可得到图2c、图2d所示的两自由度和三自由度体系。两自由度的各阶自振频率分别为    ，    三自由度的各阶自振频率分别为    ，    ，    

简支梁自由振动频率的精确解为    ，    ，    .

由此可见，如果只要求结构前几个较低的自振频率，那么只需使质量集中后的体系的自由度等于或略大于所求频率的个数即可。

图3所示对称刚架，当刚架发生水平振动时，其振动形态是反对称的(图3a)。因梁柱结点处的水平振幅较大，故应将质量集中于结点处，由此可求得刚架的一个低阶频率。当刚架发生竖向振动时，其振动形态为正对称(图3b)。此时梁柱结点处的位移为零，而梁跨中及柱中点附近的振幅较大，故应将质量集中于梁、柱的中点处。

▲图3

简单计算可知，图中反对称水平振动的频率是第一频率，而正对称的频率是第二频率。实际上，该刚架的质量和刚度分布均关于同一条轴线对称，这种体系称为对称振动体系。对称体系的主振型要么是正对称，要么是反对称的。图3a中简支梁的质量和竖向刚度也关于其竖向中心线对称，故其振型也是正对称或反对称的，所不同的是其第一振型为正对称。同理，图4刚架的一阶频率对应的振型也是反对称的。