基于Mathematica浅谈高斯——勒让德积分

今天木木带着大家谈一谈有限元中经常用到的高斯——勒让德积分（Gauss-Legendre Integration）方法。高斯型积分有一个很大的特点就是用较少的求积节点（高斯点），就可以得到很高的精度，所以常常被用来作为数值求积手段，所以就想着简单聊一聊该积分方法。

在进入正题之前，先来欣赏一下我们学校雨后初晴的景象吧！简直太好看了~

图1 宿舍楼的云景

图2 貌似布达拉宫的第一教学楼

图3 P图后的云景

进入正题啦~

n个节点的高斯——勒让德求积公式    ，其中节点    是n次勒让德正交多项式     的零点，系数    ，在应用户量较多的Matlab进行编程时，需要专门编制勒让德正交多项式的函数，比较麻烦，今天木木向大家介绍的这款Mathematica，内置了3000多个函数，采用函数式编程，竟然自带有正交多项式的函数，我们只需要调用即可，接下来以一个例子，说明高斯——勒让德积分的魅力吧~

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例题：用3个高斯点对其进行积分    注：高斯——勒让德积分区间是[-1,1]，（完全和等参单元吻合），所以，我们先要进行积分区间变换为[-1,1]，即    。此时积分变为    代码区

输出结果

结果分析

我们从以上结果可知，当采用三点高斯积分时，误差已经在E-4级了，当我们增加积分点到4时：

误差已经在E-7级了，很好验证了其精度之高，所需积分点之少，代码之简洁，用到的核心函数就是LegendreP。

好啦，本期的数值积分内容就分享到这里啦，我们下期再见啦，拜拜~喜欢本期推文的同学可以点点小赞哦，在看在看，分享给身边有需要的人，加油，我们共同进步！