二自由度系统的振动以及midas程序验证

从单自由度系统的振动形态和固有频率，可以理解模态分析的意义。实际上，我们碰到的系统都是多自由度系统，求解多自由度系统的振动形态和固有频率，就复杂多了。多自由度系统中，最简单的就是二自由度系统，只要能理解二自由度系统的振动特性，就能够自然地推广到多自由度系统中去。下图1是一个二自由度系统的振动。

图1 二自由度振动系统

在自由振动的情况下，根据牛顿第二运动定律，该系统的动力学方程组可写为：

写成标准形式：

写成矩阵形式：

进一步，我们不考虑系统的阻尼，也就是系统是无阻尼自由振动，这样更有利于我们理解。

此时，矩阵形式的方程组进一步简化为：

这是二阶常系数线性齐次微分方程组，它的解的形式为：

将(5)的解代入(4)式的方程，可得：

(6)式有非零解的充分必要条件是：

可得：

令：

方程(8)的解为：

系统的振动频率：

下面我们举一个例子。

如果：

根据(9) (10) (11)式，可得：

当:

从(6)式第一个方程可得：

这是第一个固有频率对应的振型，表明第一阶模态两个自由度的运动是同向的。

当：

从(6)式第一个方程可得：

这是第二个固有频率对应的振型，表明第二阶模态两个自由度的运动方向是相反的。

综上所述，上述二自由度系统，它有两个固有频率，第一阶固有频率对应的振型，两个自由度的运动是同向的；第二阶固有频率对应的振型，两个自由度的运动方向是相反的。

下面用midas程序验证一下：

midas程序的计算结果与理论计算结果是一致的。相信大家对模态分析有了更深入的了解~~~下期再见~