RSM算法系列详解三：Parametric Surfaces

但工程问题不一定适合用多项式描述。有些响应更像幂函数，有些具有指数衰减特征，有些存在周期性变化。我们可能已经知道大致的数学关系，只是不知道公式中的系数是多少。

今天的主角 Parametric Surfaces（参数化响应面），就是把已有的工程认识写进公式，再用训练数据寻找其中的未知参数。

01核心概念：不是猜公式，而是拟合参数

1.1 “Parametric”是什么意思？

Parametric 指“由参数控制”。例如：

改变 a 和 b，曲线的高度、增长或衰减速度就会变化，但公式的基本结构不变。

这里有三个不同的角色：

训练时，每个 DOE 点的 x 和 y 已经确定。算法改变的是 a、b，让公式尽量贴合这些数据。

训练完成后，a、b 确定下来。再输入一个新的 x，就可以快速预测 y。

1.2 “Surface”是不是只能处理两个输入？

不是。一个输入时可以画成曲线，两个输入时可以画成三维曲面。更多输入时，数学模型仍然存在，只是不容易直接画出来。

这里的“曲面”是响应面模型的统称，不是 CAD 中的几何曲面，也不限制只能使用两个输入。

1.3 它会自动发现物理公式吗？

不会。Parametric Surfaces 在你指定的结构中寻找参数，不会自动决定真实关系应该是幂函数、指数函数，还是其他物理方程。

如果响应具有饱和趋势，但你只给它一条直线，它只能寻找“最合适的直线”，不能自动把直线变成饱和函数。

参数拟合得再努力，也无法弥补根本不合适的公式结构。

02一个工程例子：用数据确定幂函数参数

假设我们研究流量与压降关系，并根据已有经验，尝试使用：

其中，x = Q/Q₀ 是无量纲流量比，Q₀ 是预先选定的参考流量，不参与拟合；y 是压降，单位 Pa；a、b 是待拟合参数。

这样处理后，a 的单位为 Pa，b 为无量纲指数。

下面是教学构造数据，不是实际测量结果：

2.1 哪组参数更好，谁说了算？

算法使用残差平方和 RSS：

RSS 越小，表示这一组参数在训练数据上的整体拟合越好。

先试 a = 20、b = 2，候选模型为 ŷ = 20 · x²：

得到：

RSS = 4 + 1 + 16 + 1 + 9 = 31

如果改成 a = 18、b = 2，同一组数据的 RSS 就变成 4319。因此，在这两组候选参数中，a = 20、b = 2 明显更好。

算法还会继续调整 a、b，寻找更小的 RSS。上面只是解释原理的候选模型，不是一次实际 modeFRONTIER 训练的输出。

2.2 训练完成后怎么预测？

假设最终参数接近 a = 20、b = 2，当新流量比 x = 2.5 时：

这个过程只是在计算一个简单数学函数，不需要重新运行完整 CFD 模型。

但 125 Pa 仍然是代理模型预测值。重要设计和最终优化结果，仍应使用真实仿真或试验验证。

2.3 必须穿过每个训练点吗？

不是。Parametric Surfaces 在 modeFRONTIER 的分类中属于逼近型 RSM，追求整体拟合，不要求预测值精确等于每个训练值。

上面的残差没有全部变成零，就是一个直观例子。

03公式从哪里来：预定义函数与自定义表达式

在 Parametric expression 中，可以自己编写公式，也可以通过表达式编辑器的 Function type 选择预定义函数。

表中是典型数学形式，实际生成的表达式以所选输入和编辑器设置为准。只有部分预定义函数提供多项式次数等相关设置。

3.1 Nth degree Terms 与 Power function 有什么区别？

Nth degree Terms 中，N 是指定的次数。例如 N = 2，就是拟合 a · x²。

Power function 中，b 也是未知参数，可能得到 1.7、2.1、2.8，并不限定为整数。

3.2 数学排版不是程序语法

推文中的 y = a · xᵇ 是数学表达。编辑器中应使用软件支持的函数写法，例如 a*pow(x,b)；指数函数可写成 a*exp(b*x)。

不要把排版中的乘号、上标直接当成程序语法复 制。刚上手时，优先使用预定义函数，再检查生成的表达式。

04两种训练算法：LM 与遗传算法

Algorithm type 提供两种参数训练方法：Levenberg-Marquardt（简称 LM）和 Genetic algorithm（遗传算法）。

它们解决同一个问题：改变公式中的参数，使训练数据的 RSS 尽量小。

4.1 为什么需要迭代优化？

多项式可能对输入 x 呈现弯曲，但通常对未知系数是线性的：

未知系数直接乘在已知基函数上。

而对于 y = a · exp(bx)，b 位于指数函数内部，参数拟合一般需要迭代数值优化。

所以，“曲线对 x 是弯的”与“模型对参数是非线性的”，不是同一件事。

4.2 两种算法怎样理解？

LM 是经典的非线性最小二乘方法，结合了梯度下降与 Gauss-Newton 方法的特点。

一个实用思路是：先用合理的公式和参数范围尝试 LM；如果结果对初始化敏感，再用遗传算法及不同种子作比较。

不能把“更稳健”理解成“一定更准”，也不能把“训练停止”理解成“已经全局最优”。

4.3 RSM 训练与设计优化是两个阶段

这里选择遗传算法，是让它训练 RSM 参数，不是自动创建一个真实仿真优化流程。通常，训练只使用已有数据，不会因为每个循环都重新调用一次 CONVERGE 或 JMAG。

05参数边界：Fixed 与 Floating 的真正区别

RSM parameters 表中，需要设置未知参数的 Lower bound 与 Upper bound。

例如，对 y = a · xᵇ，给出一组教学示例范围：

这些是 a、b 的范围，不是输入变量 x 的范围。范围应结合单位、数量级和工程认识确定，不是通用推荐值。

5.1 Fixed：边界必须遵守

选择 Fixed，参数搜索必须遵守上下界。例如 a ∈ [0,100]，结果不能随意变成 a = 120。

如果参数具有明确的物理限制，Fixed 更符合这种要求。

5.2 Floating：只用于初始化

选择 Floating，上下界只作为算法初始化的范围参考，后续搜索可以超出范围。

所以，即使表中写 a ∈ [0,100]，最终也可能得到 a > 100。这不一定是软件忽略设置，而可能正是 Floating 的预期行为。

• Fixed

  ：一道不能跨越的边界。  

• Floating

  ：搜索出发时的参考范围。  

5.3 参数总是落在边界上，说明什么？

如果 b 多次训练都等于上界 4，需要检查范围是否过窄、公式是否遗漏重要项、数据与单位是否正确，以及参数是否可被稳定确定。

不要一看到“碰边界”，就直接把范围无限扩大。先判断扩大是否具有工程意义。

06三个容易误解的参数：Cycles、Accuracy、Seed

6.1 Training cycles：训练循环上限

Training cycles 是参数训练算法的最大迭代循环数。

它不是 DOE 点数、真实仿真次数，也不是并行计算数量。

增加循环数可以给算法更多搜索机会，但不能保证模型变好。公式选错了，增加循环数也无法修正结构；已经收敛后，提高上限也未必有收益。

一个循环可能包含多次函数评估，不能把“100 个循环”直接理解成“只试了 100 组参数”。

6.2 Accuracy：不是预测误差要求

Accuracy 是 LM 的收敛停止条件，用于判断相对于上一轮训练，改善是否已经足够小。

以概念示例说明：某个拟合目标从 100 改善到 99.95，相对改善约为 0.05%。变化已经很小，但目标本身仍可能很大。

“已经很难继续改善”和“预测已经足够准确”，是两件事。

Accuracy 越小，通常要求更细的收敛，但仍受 Training cycles 上限限制，也不保证验证误差更小。这个停止条件针对 LM，不能直接照搬成遗传算法的预测精度要求。

6.3 Random generator seed：用于复现

随机种子控制随机序列。在相同数据、公式、算法设置和软件环境下，固定种子有助于复现结果。

• 种子必须为整数。
• 设为 0 时，根据电脑时钟自动生成种子，随机序列不可复现。
• 比较设置时，可先使用相同的非零种子。
• 检查稳定性时，再尝试不同种子。

换种子不一定会得到不同参数。如果问题存在一个稳定、容易找到的解，多次训练也可能收敛到相近结果。

07训练数据：参数少，不等于只需要几个点

7.1 三个训练数据选项

保留重复样本，也可能改变相应工况在拟合中的相对权重。“去重”并不是任何情况下都更好。

7.2 为什么小样本问题可能适合它？

如果已有合理的公式结构，可能只需要估计少量参数，不必展开大量通用多项式项。这相当于把工程知识提前写进模型。

但前提是，这个结构确实适合当前问题。

除了样本数量，还应考虑数据是否覆盖使用范围、能否区分各参数、噪声大小，以及是否保留独立验证数据。

参数少，只代表模型精简，不代表训练数据可以随意减少。

7.3 一个“点再多也解决不了”的例子

假设公式写成：

数据主要能确定的是 a+b。例如 a = 2、b = 3，与 a = 1、b = 4，预测完全相同。

这叫参数不可辨识：数据无法分别确定 a 和 b。

所以，拟合出一组数字，不等于每个参数都具有唯一、可靠的物理解释。

官方给出的最大推荐训练集规模为 5000 个设计。应理解为推荐规模，不应直接写成“任何情况下严格不能超过的上限”。

08Function Log：训练完成，不等于模型可靠

官方说明，报告主要包含所选变量与算法设置、表达式、参数上下界、训练得到的参数，以及最大/平均绝对误差、最大/平均相对误差和潜在异常点 ID。

8.1 官方示例中的提醒

官方帮助的演示报告显示 TRAINING COMPLETED，但同时：

同一报告还有参数恰好达到设置的 ±10 边界。

8.2 怎么读误差？

真实输出接近零时，相对误差可能很大，要结合绝对误差和工程容差判断。RSS 是训练目标，也不代表 Function Log 一定单独显示 RSS 栏目。

8.3 异常点可以直接删除吗？

不应直接删除。Chauvenet 准则识别的潜在异常点，可能来自求解错误、单位问题、真实工况变化，也可能是当前公式遗漏了重要机制。

异常点提示是检查入口，不是“坏数据”的最终判决。

8.4 泛化能力怎么验证？

在 RSM Training 向导中选择另一张验证表，或者把已有数据拆成训练集与验证集。

训练集确定参数，验证集检查未参与拟合的数据。

关注验证误差、关键工况、边界表现，以及残差是否具有系统性变化。例如低流量总是低估、高流量总是高估，可能意味着公式结构存在偏差。

Parametric Surfaces 的官方配置列表没有列出 Polynomial SVD 中的 Compute leave-one-out errors 选项，不能照搬前两篇的参数面板。

09完整配置清单与上手流程

9.1 配置清单

9.2 一个完整的使用顺序

1. 准备真实仿真或试验数据，核对变量、单位和错误记录。
2. 在 Design Space 打开 RSM Training，安排训练数据与独立验证。
3. 选择 Parametric Surfaces，并确定合理的公式结构。
4. 为未知参数设置有依据的范围。
5. 设置训练算法、边界类型、循环上限和随机种子；使用 LM 时设置 Accuracy。
6. 训练后检查参数值、边界命中、误差及异常点。
7. 根据验证结果修改公式、调整范围或补充数据。
8. 使用通过验证的模型预测或优化。
9. 用真实求解器验证重要设计，尤其是最终候选最优解。

9.3 与前两种算法对比

它们不是“一级比一级高级”。关键是在当前数据和使用范围内，哪一个模型经过验证后更可靠。

10常见误区与最后总结

误区一：公式越复杂，模型一定越准确

不一定。复杂公式会增加未知参数、搜索难度和过拟合风险，也可能引入参数之间的补偿。应从有依据的简洁结构开始。

误区二：Fixed 就是参数不再改变

不是。Fixed 固定的是上下界，参数仍在范围内拟合。

误区三：Accuracy = 0.001，就表示预测误差小于 0.1%

不是。它是 LM 的迭代停止阈值，不是预测误差指标。

误区四：训练参数就是准确的物理常数

不一定。还要考虑公式、单位、数据范围与可辨识性。有些参数只是当前范围内的有效拟合系数。

误区五：公式符合物理趋势，就能放心外推

不能。参数由有限范围内的数据确定，超出训练范围仍需验证。

误区六：训练完成，就可以直接拿去优化

先检查验证误差，再使用模型；最后用真实仿真确认重要结果。

误区七：导出 Excel 后，公式一定会自动转换好

需要注意。官方帮助说明，Parametric Surfaces 导出到目标代码格式时，原始 JavaScript 表达式并不一定自动转换成目标语言中的可执行表达式，可能需要手动改写并校验。

“导出成功”不等于“换一个环境后公式一定正确”。

Polynomial SVD 帮你拟合多项式，Stepwise Regression 帮你挑选多项式项，Parametric Surfaces 则让你把已有的工程认识写进公式，再用数据确定未知参数。

它的价值不是完全替代工程判断，而是把工程判断与数据拟合结合起来。

公式要有依据，参数要能确定，模型要经过验证——三件事缺一不可。

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