弯回原形后，聚合物为何仍留下剪切带？

一、相似矩阵（Similar Matrices）1. 定义设 和 都是 的方阵，若存在可逆矩阵 ，使得 则称 和 互为相似矩阵，记作 。2. 直观含义相似矩阵的本质是：同一个线性变换，在不同基下所对应的矩阵表示。在张量分析中，一个 型线性变换张量，在不同坐标系（基）下写成的矩阵就是相似矩阵。相似 ≠ 数值相等，而是“几何本质相同，观测视角（基）不同”。3. 相似矩阵的性质既然相似矩阵描述同一个线性变换，那么以下量必然保持不变：性质 说明 反身性 对称性 若 ，则 传递性 若 ，则 特征值 行列式 （特征值之积） 秩 （无关特征向量数） 迹 （特征值之和） 可逆性 若 可逆，则 可逆，且 只要认识到“相似矩阵 = 同一线性变换的不同矩阵表示”，上述性质都几乎是显然的。4. 若尔当标准型（Jordan Canonical Form）经典对角化公式： 此时 ， 为对角矩阵。但并非所有矩阵都能对角化，例如： 该矩阵特征值 ，但代数重数 > 几何重数，线性无关特征向量不足。若尔当指出：任意方阵 ，即使不可对角化，也一定存在可逆矩阵 ，使得 其中 为若尔当标准型。 由若干 若尔当块（Jordan Block） 组成；若尔当块特点：主对角线元素相同（同一特征值）；次对角线（若存在）全为 1。 二、奇异值分解（SVD）在讨论伪逆之前，需要先理解矩阵的四个基本子空间的关系： 1. 从可逆方阵到一般矩阵当 为 可逆方阵 时： 表示行空间中的 经 映射到列空间；逆映射由 给出。当 不可逆 / 非方阵 时：零空间中的分量对输出无贡献；任何 都可分解为： 有效信息仅来自行空间分量 ，且 在列空间中唯一对应。行空间与列空间维数相同（等于 ），在 作用下一一对应。2. SVD 的构造思路在行空间中选取一组标准正交基 ，其在 下的像： 可标准化为列空间的一组标准正交基。写成矩阵形式： 即： 两边右乘 （注意 正交， ），得 奇异值分解： 其中： ：列空间的标准正交基（ 或 ）； ：行空间的标准正交基（ 或 ）； ：奇异值对角（或半对角）矩阵。三、伪逆（Moore–Penrose Pseudoinverse）1. 动机即使 不可逆或是非方阵，行空间与列空间之间仍存在一一对应，因此可以定义一种“广义的逆” ，把列空间向量映射回行空间。由 SVD： 逆向操作自然是： 其中 将 中非零奇异值取倒数，并保持维度对齐。2. 伪逆的作用左乘伪逆： 效果是：保留向量在 行空间的投影，零空间分量被清零。右乘伪逆： 效果是：保留向量在 列空间的投影，这正是最小二乘中的投影矩阵。3. 特殊情形列满秩（ ，左逆） 此时： 行满秩（ ，右逆） 4. 小结列满秩：有左逆，左乘得单位阵，右乘得列空间投影矩阵；行满秩：有右逆，右乘得单位阵，左乘得行空间投影矩阵；一般情况：伪逆 给出行空间 / 列空间的最优投影映射，是最小二乘解的统一表达式。📌 一句话总结相似矩阵是“换基不改变换”，SVD 是“任意矩阵的结构拆解”，伪逆是在不可逆世界中，对逆运算的最合理推广。来源：我的博士日记