第78夜 | 压杆稳定5：一端固支一段自由压杆的数学推演
地点：力学研讨室。人物：
小生：手里攥着昨天的课堂笔记，正准备在黑板上推导公式。 老师傅：在一旁看着他，微微点头。
1. 悬念再起：直觉与微积分的碰撞
小生：师傅，昨天讲的“寻找拐点”和“镜像倒影”法确实非常直观。对于一端固支一端自由的压杆，加上它在固支端的镜像倒影，刚好拼成了一根长度为 的两端铰支压杆，所以相当长度系数 。 但是，物理直觉虽然能指明方向，最终的真理还是得靠严谨的数学推导来敲定吧？我想亲自用微积分，把这个 给推出来。
老师傅：极好的科学态度！直觉给了我们猜想，今天我们就用数学铁锤来完成证明。 我们就拿一端固支一端自由的压杆开刀。 假设压杆长度为 ，底端死死固定，顶端自由。在临界压力 的作用下，压杆发生了微弯。我们以底端为坐标原点，向上为 轴，侧向挠度为 。假设顶端自由端产生的最大侧向位移是 。 小生，你先试着切开任意截面 ，列出它的弯矩平衡方程。
2. 非齐次微分方程的诞生
小生：我来看看……在截面 处切开，取上半部分研究。我们在截面处假设一个抵抗的内弯矩 （根据规定，使压杆凸向右侧为正）。 这段分离体受到的力有两个：截面处的内弯矩 ，以及顶端向下的外加压力 。 顶端相对于原点的总位移是 ，而当前截面 处的位移是 。所以，力 偏离当前截面形心的距离就是 。力 产生的力矩是顺时针的，大小为 。 根据合力矩等于 0 的平衡条件：
移项得到截面的弯矩表达式：
老师傅：完全正确。接下来，把它代入我们熟悉的挠曲线近似微分方程 中，整理一下。
小生：代入进去：
把括号拆开：
把含有未知数 的项移到等号左边：
为了书写简便，我们还是和昨天一样，令 。方程就变成了：
师傅，等号右边不再是 0 了，变成了一个常数项 。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程！
老师傅：数学基本功很扎实。非齐次方程的通解结构，你还记得吗？
小生：当然记得。这类方程的完整解，也就是非齐次通解，由两部分组成：
非齐次通解 = 对应齐次方程的解（即齐次解） + 该非齐次方程的一个特解。
那部分“对应齐次方程的通解”，也就是把等号右边强行当成 0 解出来的结果，我们昨天刚算过，是 。 而“特解”只需要满足带有常数项的原方程就行。显而易见，特解就是常数 （因为常数 的二阶导数为0，代入方程左边刚好等于 ）。 所以，挠度 完整的非齐次通解就是把它们加起来：
3. 边界的审判：锁定积分常数
老师傅：通解有了，接下来该让边界条件上场，去审判这两个未知的积分常数 和 了。你来梳理一下这根压杆的边界条件。
小生：底端是固支端，坐标 。固定端既不能移动，也不能转动。所以有两个条件：
挠度为零：当 时， 转角为零：当 时，
我先把第一个条件代入通解：
得到第一个常数： 。
接着用第二个条件。先对通解求一次导：
代入 和 ：
因为 不为 0，所以得到第二个常数： 。
老师傅：干脆利落。常数 和 都被底端的固定条件确定了。现在，这根压杆的确切挠曲线方程变成了什么？
小生：把 和 代回通解，提取公因式 ，挠曲线方程就变成了：
4. 数学铁锤：敲定
老师傅：方程只剩下最后一个未知数，也就是那个决定生死的 。这就需要用到顶端的自由边界条件了。
小生：顶端是自由端，坐标 。我们一开始就假设了它在这里产生了最大侧向位移 。 所以边界条件是：当 时， 。 我把这个条件代入刚才求出的挠曲线方程里：
两边同时除以 （因为发生失稳时 ）：
化简得到最核心的特征方程：
老师傅：停在这里。要让余弦等于 0，角度 可以有很多个解。但我们需要寻找的是导致压杆首次失稳的最小临界力，也就是寻找最小的正根。这个角度应该是多少？
小生：余弦值为 0 的最小正角度是 ！ 所以：
整理得到 的最小值为 。 我们再把一开始的代换 换回来：
两边同时平方，再把 乘过去……结果出来了！
小生：（放下粉笔，长舒一口气）太严密了！推导出来的公式分母里，结结实实地出现了一个 ！ 这在数学上毫无瑕疵地证明了，一端固支一端自由的压杆，它的临界力就等价于一根长度翻倍的两端铰支压杆！昨天靠几何直觉画出的“地下倒影”，今天被微积分的铁锤彻底钉为了真理。 ，铁证如山！
老师傅：微积分的威力就在于此。直觉负责开疆拓土，数学负责验明正身。既然一端固支一端自由的硬骨头已经被你啃下来了，那么剩下的两端固支（ ）和一端固支一端铰支（ ），它们的数学面纱又该如何揭开呢？我们下一夜，继续在这张推导纸上写下去。
