第70夜 | 第三强度理论-part 1
#材料力学 #第三强度理论 #强度理论 #应力 #机械强度 #考研
"前两夜咱们讲了脆性材料是如何被“拉断”或“拉长”到极限而失效的。今天，来看看你手里的这块低碳钢。作为典型的塑性材料，它在断裂前发生了明显的屈服。你觉得导致它屈服的破坏机制是什么？"
地点：力学研讨室。桌上放着一块拉断的低碳钢试件。
人物：
小生：正拿着放大镜，观察试件断口处明显的倾斜滑移面。
老师傅：拿着圆规，站在黑板前。
1. 塑性材料的死穴：相对滑移与切应力
老师傅：前两夜咱们讲了脆性材料是如何被“拉断”或“拉长”到极限而失效的。今天，来看看你手里的这块低碳钢。作为典型的塑性材料，它在断裂前发生了明显的屈服。你觉得导致它屈服的破坏机制是什么？
小生：这块低碳钢表面有明显的 45 度滑移线。说明它不是被直接扯断的，而是内部层面之间发生了“相对滑移”。既然是滑移，那导致破坏的力难道是切应力？
老师傅：分析得很准确。这正是第三强度理论（最大切应力理论）的基本假设：最大切应力是引起材料发生屈服（显著塑性变形）的唯一主导因素。
小生：也就是说，只要复杂构件内部的绝对最大切应力 ，达到了该材料在单向拉伸试验屈服时的极限切应力 ，材料就会发生屈服么？
2. 寻找复杂状态下的最大切应力
老师傅：思路很清晰。我们要推导第三强度理论的相当应力 ，就需要分别求出复杂状态下的 和单向拉伸下的 。小生，在一个包含 的复杂三向应力状态下，怎么算出那个最大的切应力 ？
小生：这……我不知道啊。之前我们只学过在二向平面应力状态下怎么算最大切应力，三向空间的应力太复杂了，我没头绪。
老师傅：别急。那你先回忆一下，在二向应力状态下，你是怎么算最大切应力的？
小生：二向状态简单！画出应力圆（莫尔圆），圆上纵坐标最大的点就是最大切应力。这个最高点正好对应圆的半径，所以直接用最大正应力减去最小正应力除以 2，也就是：
老师傅：很好！我现在直接告诉你一个结论：在三向应力状态下（约定 ），绝对最大切应力的结论与二向状态完全一样！它依然是由最大的正应力（第一主应力） 和最小的正应力（第三主应力） 决定的：
3. 对标简单拉伸：推导相当应力
老师傅：现在复杂状态的 有了结论。接下来看对标的基准——单向拉伸试验。当单向拉伸的试件刚好达到屈服极限 时，它内部的极限切应力 是多少？
小生：单向拉伸下，试件只有一个方向受力。当它屈服时，三个主应力分别是： （屈服极限），而 ， 。
既然您说三向和二向求切应力的规律一样，那我直接套用 的结论。代入进去，单向拉伸时的极限切应力就是：
老师傅：现在，应用第三强度理论的核心假设。令复杂状态的 等于单向拉伸屈服时的 。
小生：我来写！把两边代进去相等：
两边同时乘以 2 约掉分母，得到失效判据：
所以，等号左边的代数式就是我们要找的第三强度理论相当应力：
师傅，这个理论非常干脆，用最大切应力一对比，公式就出来了。
4. 疑云：被忽略的 与三向应力圆
小生：不过，虽然公式推出来了，但我心里有个巨大的疑问。
您刚才直接给出的结论 到底是怎么来的？在三向应力状态下，明明有三个主应力，凭什么绝对最大切应力只和 有关，中间的主应力 去哪了？
老师傅：这正是材料力学里非常巧妙的几何构造——三向应力圆（3D Mohr's Circle）要解决的问题。
我们在 坐标系中，标出三个主应力点 。然后两两配对，画出三个应力圆：
以 和 为直径画一个圆，最高点切应力 。
以 和 为直径画一个圆，最高点切应力 。
最后，以 和 为直径画一个最大的外接圆。
小生：我看到了，最大外接圆的半径就是 ！可是师傅，这只是画了三个圆而已。凭什么说复杂微元体内部任意一个倾斜截面上的应力，就一定不会跑出这个大圆的范围呢？
老师傅：这正是三向应力圆的底层逻辑。数学上可以证明，无论微元体被切出什么角度的斜面，它上面的正应力 和切应力 ，在坐标系中对应的点，必定落在由这三个圆围成的阴影区域内（包括边界）。
因为所有可能的切应力都被封印在了这个大圆之内，所以绝对最大切应力，毫无悬念地就是大圆的半径 ，而 只是决定了内部阴影区域的形状，无法触及切应力的天花板。
小生：这也太神奇了。任意倾斜的 3D 截面，它的应力点居然全被圈禁在这三个圆之间。这背后的数学证明到底是怎么做到的？三向应力圆的几何原理究竟是什么？
老师傅：这就需要用到空间力的平衡方程和方向余弦的平方和关系了。推导过程是一场硬核的代数战，咱们下一夜，就来揭开这三向应力圆的阴影之谜。
