一看就懂，超弹性材料的力学特性及其基于应变能密度函数的应力-应变关系！
本文从微观层面介绍超弹性材料的宏观力学特性表现的本源，同时基于材料特点介绍其基于应变能密度函数描述的应力-应变关系，以便更好地理解仿真分析过程中，超弹性材料的材料本构模型。
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超弹性材料力学特性介绍
我们知道，传统的延性金属材料通常在10%～30%应变范围内就基本失效，但典型的超弹性材料可以延伸到300%以上的应变而不断裂。如下图：
金属应力-应变关系曲线 某橡胶应力-应变关系曲线
那么，超弹性的材料（如橡胶类材料）与传统的弹性材料（如金属）为何应变能力相差这么大呢? 其根本原因在于两者在微观层面的弹性来源不一样，即微观结构的差异性。
微观层面，超弹性材料（如橡胶、弹性体等），由长链高分子构成，常温下分子链呈无序蜷缩状态（如下图）。热运动使链段随机晃动，系统处于高熵状态。当外力拉伸时，分子链被迫伸直，构象数目减少，熵值降低；松手后，分子链因热运动自发回归高熵的卷曲状态，驱动材料回弹。这种熵弹性机制使材料能承受大幅变形并完全恢复。
图片源于网络
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以上便是超弹性材料宏观力学特性的微观机理解释。总结来讲，本质就是材料在微观层面的组织结构与形态，决定了其宏观层面的力学性能表现。因此，基于以上原因，超弹性材料其宏观上的主要力学特性表现包括：
① 大变形能力：弹性大（可逆、非线性弹性），变形高达100%以上，甚至更大；
② 几乎不可压缩：压缩体积变化很小，泊松比接近0.5（但发泡形成的泡沫等部分材料具有可压缩特性）；
③ 高度的非线性应力应变关系：通常表现为在中等应变阶段可能出现平台区，大应变阶段应力急剧上升，需通过非线性本构模型（如Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Ogden等）描述。
④ 温度与工作条件的敏感性：部分超弹性材料的性能（如弹性模量、变形能力）会随温度变化，高度依赖温度、工作频率和使用时长。
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超弹性材料的应力-应变关系
超弹性材料可以承受较大的弹性变形，卸载时通常遵循与加载相同的路径(前提是不考虑损伤，如马林斯效应，只考虑弹性)，应力由当前变形状态确定，因此与路径无关。
下图是超弹性材料与常见的弹塑性材料应力-应变关系的对比，可以看到两者表现出了很大的区别。
图片源于网络
对于弹塑性材料，其线弹性阶段，应力应变关系由胡克定律衍生而来，满足如下应力-应变关系（E为弹性模量）：
而在塑性阶段，例如金属的塑性，则可利用塑性势能构建应力-应变关系，塑性应变增量可根据流动准则从塑性势能中得到。在塑性力学中，利用塑性势函数 Q(σ)构建材料应力-应变关系的公式为：
其中：
dεijp—为塑性应变增量张量；
dλ—为非负的塑性乘子（待定量，决定了属
性应变量）；
Q—为塑性势函数，是应力的函数，决定了
塑性应变方向。
若采用关联流动法则（金属塑性常用），则取 Q=f（屈服函数），此时：
该式表明塑性应变增量的方向由塑性势面（或屈服面）的法向决定。
对于超弹性材料，应力应变之间的关联不存在一个像线弹性关系那样的恒定系数（如弹性模量E）。因此，超弹性材料采用应变能密度函数W推导其应力-应变关系，其核心是热力学势能函数。对于此类材料，应力是应变能函数对应变的梯度，如下式：
其中：
Sij—第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量的分量；
W—未变形的单位体积的应变能函数；
Eij—Green-Lagrange 应变张量的分量。
由此可见，超弹性材料的材料属性在数学上意味着是以应变能函数来描述的，这与前面介绍的金属等弹塑性材料有着本质的不同。
那超弹性材料基于应变能密度函数W的应力应变关系表达式是怎样的呢？
为了理解后续有关理论知识，我们有必要了解一下在建立材料应力-应变关系过程中的几个基础概念。
① 拉伸比：指材料在某一方向上的最终长度与初始长度的比值，用 λ表示，λ>1表示拉伸，λ<1表示压缩，λ=1 表示无变形。
② 体积比：指材料变形后的体积与初始体积的比值，通常用 J表示。对于不可压缩材料，J=1；对于可压缩材料，J 可能大于或小于 1。定义如下：
其中：V是最终体积，V0是初始体积。λ1、λ2、λ3是三个方向的主拉伸比。
③ 应变不变量：指描述物体变形状态的某些特定物理量。之所以称为“不变量”，是因为它们的值不会随着观察者所选坐标系（或参考标架）的改变而改变。也就是说，无论怎么旋转、平移观察角度，一个物体的“拉伸程度”或“扭曲程度”本身是客观存在的，不会因为我们的测量视角变了而发生变化。这些客观反映变形程度的量，就是应变不变量。
应变不变量是构建应变能密度函数 W 的基石。
对于一个变形张量 C，它的三个主不变量I1、 I2、 I3可以通过拉伸比和体积比定义。
第一不变量I1：代表三个主方向拉伸比的平方和。
第二不变量I2：张量所有二阶主子式之和，代表主拉伸比平方的两两乘积之和。
第三不变量I3：张量的行列式，代表变形前后的体积比的平方。
不变量 | 符号 | 物理意义 |
|---|---|---|
第一不变量 | I1 | 反映了物体的总体拉伸程度。如果是立方体，它关联着变形后棱边长度的总和变化。 |
第二不变量 | I2 | 反映了物体的综合剪切与拉伸耦合程度。它比 I1更复杂，常用于模拟具有复杂网络结构的聚合物。 |
第三不变量 | I3(或 J) | 反映了物体的体积变化。如果 J=1（即 I3=1），说明材料是不可压缩的（体积不变），比如橡胶和水。 |
介绍完概念，我们回到之前的应变能密度函数W，可以通过主拉伸比或应变不变量定义应变能密度函数，即：
通常W的表达式可被拆分为两项：偏量项Wd和体积项Wb，即：
将其写成通用的 N 阶多项式形式，表达式则为如下形式：
在处理像橡胶这样的不可压缩材料时，材料的变形几乎都体现在“形状”的改变上（体积几乎不变）。
因此，为了简化上述数学表达，常使用偏不变量（上划线-表示）表示应变能密度函数W(也就是反应体积变化的项为零，即J=1)。仅用偏不变量相当于把体积膨胀的部分“截断”掉（不可压缩形式），只关注纯扭曲和拉伸的形状改变，此时：
此时：
Neo-Hookean 模型：只依赖第一偏不变量 ，表达式为：
Mooney-Rivlin 模型：同时依赖第一和第二偏不变量，表达式为：
Yeoh 模型：只依赖第一偏不变量，但引入了高阶项来捕捉材料的硬化行为，表达式为：
除体积变化项的“截断”外，超弹性材料在N 阶多项式形式的表达式下，还常在实际应用中，根据计算精度和成本的权衡，对N 阶多项式形式的表达式进行阶次的截断，取前几项进行计算，如下：
当采用一阶多项式形式 (N=1)时，表达式如下，此时只包含两个剪切参数(C10、C01)和一个体积参数D1：
如果令 C01=0，该式即退化为经典的 Neo-Hookean模型。
当采用三阶多项式形式 (N=3)时，是为了更精确地捕捉材料在大变形下的非线性硬化行为，此时三阶形式表达式为：
该式展开后共有9 个剪切系数，分别是 ：C10,C01,C20,C11,C02,C30,C21,C12,C03 和 3 个体积系数 D1,D2,D3。
最经典的三阶 (N=3) 模型表达式如下，即体积项截断后的Yeoh模型：
在该模型中：
C10—代表材料的初始剪切模量 μ/2。
C20—通常为负值，用来描述中等变形下的材料
的软化。
C30—通常为正值，用来描述大变形下的材料的
急剧硬化。
需要指出的是，Yeoh 模型只需要单轴拉伸的实验数据就能较好地拟合出参数。它在中等至大变形（变形量可达 100% 以上）的橡胶类材料模拟中表现出极高的效率和准确性，因此被广泛应用于汽车轮胎、发动机悬置、鞋底减震等工业产品的有限元分析。
