作业6 第2题 答案
题目
由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图 2 所示，跨度 。若胶合面上的许用切应力为 ，木材的许用弯曲正应力为 ，许用切应力为 ，试确定许可载荷 。
【解析思路】
本题为经典的组合截面梁问题。为了求出整个结构的许可载荷 ，必须同时满足三个强度条件：
木材的整体抗弯正应力强度（控制跨中或固端上下边缘）；
木材的整体抗剪切应力强度（控制中性轴处）；
胶合面的抗剪切应力强度（控制特定胶合缝位置）。
取三者计算出的 的最小值，即为最终的安全许可载荷。
步骤 1：截面几何性质计算
建立坐标系：以截面形心为原点（中性轴 所在位置，即 ），设定 轴正向向下。
截面尺寸：宽度 ，总高度 。
截面面积： 。
惯性矩： 。
抗弯截面系数： 。
步骤 2：内力分析
悬臂梁受端部集中载荷 （跨度 ）：
最大剪力（全梁各截面均等）： 。
最大弯矩（发生于固定端）： 。
步骤 3：按木材许用正应力计算许可载荷
危险点位于固定端截面的上下边缘。
根据正应力强度条件 ：
解得： 。
得 。
步骤 4：按木材许用切应力计算许可载荷
矩形截面的最大切应力发生在高度一半的中性轴处（ ）。
根据最大切应力公式 ：
解得： 。
得 。
步骤 5：按胶合面许用切应力计算许可载荷
在 轴正向向下的坐标系中，梁上下表面分别为 和 。两个胶合面分别位于 和 。
根据切应力公式 ，我们统一取胶合面下方的面积来计算面积静矩 ：
① 上胶合面 ( )：
下方包含中、底两根木条，面积 。
面积形心坐标 。
静矩 。
② 下胶合面 ( )：
下方仅含底面一根木条，面积 。
面积形心坐标 。
静矩 。
计算发现两胶合面静矩相等，故切应力大小相等：
根据胶合面强度条件 ：
解得： 。
得 。
方法二：使用矩形截面专用切应力公式（如图所示）
对于宽度为 、高度为 的实心矩形截面，由普遍公式推导出的距中性轴 处的切应力分布解析式为：
代入本题参数： 。
可见，两种方法殊途同归。
根据胶合面强度条件 ：
解得： 。
得 。
步骤 6：综合结论
综上所述，为保证梁的安全，许可载荷必须取上述三者中的最小值：
答：该悬臂梁的许可载荷 为 。
