工程电磁场数值计算-电子书
目 录
前 言
第1篇 工程电磁场数值分析的数理
基 础 1
第 1 章 电 磁 场 的 特 性 及 其 数 学 模 型 1
1.1 数学模型 1
1.2 电磁场正问题数值分析的任务和内容 2
1.3 电磁场逆问题数值分析的任务和内容 4
1.4 电磁场的基本规律——麦克斯韦方程组 5
1.5 场向量的微分方程 8
1.6 位函数的微分方程 9
1.7 定解条件 11
1.8 电介质极化场的分析 13
1.9 媒质磁化场的分析 15
1.10 物理场的相似性 17
参考文献 17
第 2 章 离 散 方 程 组 的 计 算 机 解 法 19
2.1 概述 19
2.2 高斯消去法 20
2.3 列主元消去法 23
2.4 改进的平方根法 25
2.5 松弛因子作自适应估计的SOR迭代法 26
2.6 共轭梯度加速迭代法 29
2.7 广义代数特征值问题的求解 31
附录2.1 高斯消去法求解线性代数方程组程序 33
附录2.2 高斯消去法求解对称正定线性代数方程组程序 34
附录2.3 列主元消去法求解线性代数方程组程序 37
附录2.4 改进的平方根法求解对称正定线性代数方程组程序 39
附录2.5 松弛因子作自适应估计的SOR迭代法求解大型稀疏线性代数方程组程序 41
附录2.6 共轭梯度雅可比加速迭代法求解大型稀疏线性代数方程组程序 44
附录2.7 广义代数特征值问题Ax= λBx的求解程序 48
参考文献 56
第2篇 电磁场正问题的数值
分 析57
第 3 章 数 值 积 分 法 57
3.1 概 述 57
3.2 梯形与辛普生求积公式 58
3.3 高斯求积公式 60
3.4 椭圆积分的数值计算 62
3.5 基于场量积分式的数值积分法 63
3.6 基于场源离散化的数值积分法 69
3.7 典型算例 74
附录3.1 变步长辛普生积分法程序 83
附录3.2 二重积分的变步长辛普生积分法程序 86
附录3.3 一维高斯积分法程序 88
应用算题 90
参考文献 92
第 4 章 有 限 差 分 法 93
4.1 概 述 93
4.2 差分与差商 93
4.3 差分格式的构造 95
4.4 差分方程组的求解 99
4.5 场强与电、磁积分量的计算 101
4.6 典型算例 102
4.7 等值点的寻求与描绘 110
4.8 时域有限差分法 113
应用算题 120
参考文献 122
第 5 章 有 限 元 法 123
5.1 概述 123
5.2 变分原理 124
5.3 有限元法的基本原理 131
5.4 有限元的前、后处理的基础技术 139
5.5 平行平面和轴对称静态电、磁场的有限元方程 147
5.6 非线性场中的有限元法 154
5.7 时谐电磁场中的有限元法 161
5.8 等参数有限元法 167
附录5.1 一阶有限元法的通用计算程序 171
附录5.2 规则平面域的自动剖分程序 181
附录5.3 圆形域的自动剖分程序 185
附录5.4 有限单元编号按媒质特性重行排序的程序 189
附录5.5 磁化曲线数值逼近的程序 190
附录5.6 等值线绘制的Matlab 程 序 191
应 用 算 题 198
参考文献 201
第 6 章 模 拟 电 荷 法 202
6.1 概述 202
6.2 模拟电荷法的基本原理与应用203
6.3 模拟电荷的类型及其电位、场强系数的计算式 208
6.4 典型算例 211
6.5 优化模拟电荷法 219
应用算题 220
参考文献 221
第 7 章 矩 量 法 222
7.1 概述 222
7.2 矩量法的数学基础——加权余量法 222
7.3 点匹配法与典型算例228
7.4 伽辽金有限元法 233
应用算题 236
参考文献 236
第 8 章 边 界 元 法 237
8.1 概述 237
8.2 基础知识 238
8.3 边界积分方程 240
8.4 边界元方程及方法实施 242
8.5 典型算例 248
附录8.1 线性单元边界元法的通用计算程序 251
应用算题 258
参考文献 259
第3篇 电磁场逆问题的数值
分 析 260
第 9 章 电 磁 场 逆 问 题 260
9.1 概述 260
9.2 优化算法 261
9.3 参数计算与模型接口问题 261
9.4 其他相关向题 262
9.5 计算实例 262
参考文献 264
第 1 0 章 随 机 类 全 局 优 化 算 法 266
10.1 概述 266
10.2 模拟退火算法 266
10.3 禁忌算法 267
10.4 基因(遗传)算法 268
10.5 表面响应模型 270
10.6 矢量优化算法 271
10.7 计算实例 273
参考文献 276
第 4 篇 数 值 计 算 的 实 践 基 础 277
第 1 1 章 上 机 指 南 77
11.1 上机环境 277
11.2 Fortran77语言的应用277
11.3 标准C 语言概述 285
11.4 Matlab 软件的应用 287
11.5 上机算题的指导 289
附录11.1 列主元消去法求解线性代
数方程组程序 290
附录11.2 二重积分的变步长辛普生积分法程序 293
附录11.3 应用有限差分法求解长直 接地金属槽中电场的计算程序 297
附录11.4 电磁散射场(FDTD)的计算程序 301
附录11.5 一阶有限元法的通用计算程序 306
参考文献 317
附 录 318
附录 A 坐标系统 318
附录 B 矢量分析公式 318
应用算题解答与提示 321
第1篇 工程电磁场数值分析的数理基础
第1章 电磁场的特性及其数学模型
本章基于宏观电磁理论描述表征电磁场特性的数学方程和关系式，形成建立工程电磁场 数学模型和实施数值计算方法的数学物理基础。为适应工程问题分析计算的需要，阐述中 特别强调在数学和物理意义上静态、准静态和动态电磁场之间的场特性的区别，并讨论了媒质 不连续性和不均匀性的特征描述。为进一步扩展本书分析内容的深广度，本章还概括地提出 了物理场的相似性。
1.1 数学模型
回顾自然科学发展的历史，早在伽利略年代，即已认为理解宇宙的原理是数理。其后， 牛顿(I.Newton,1642～1727)将力学法则用单纯的数学式来表达，结合由他创始的微积分方 法，通过数学分析地球上的潮汐降落、摆的周期和天体中行星运动等自然现象，创立了牛顿 力学。此后在包含物理学在内的自然科学领域内，致力于应用数学来阐明自然界各种现象， 成为科学史的发展趋势。也就是说，人们应用单纯的数学关系式来描述自然法则，求其解 答，并在与实验和观测结果相比较的基础上，去理解和应用自然现象。
近代，随着电子计算机技术的迅速发展，数学的应用在继续深人延拓到各工程、物理学 科领域的同时，也进一步扩展到经济、生态、人口和社会等非物理学科领域。实践表明，许 多以工程经验判断、定性分析为依据的工程设计，现正逐步发展为相关的计算机辅助工程 (CAE)和计算机辅助设计(CAD)等定量的工程优化设计；同样，许多以定性方法为基础的学 科正在转向定量化发展的道路，众多边缘学科应运而生。这就使数学在发展生产、经济管 理，以及各自然与工程科学学科中的重要性日益为人们所理解和接受，促成了近代应用数学 及其相关学科相辅相成的新发展。
当应用数学方法解决上述各类物理或非物理问题时，首先必须建立数学模型，然后得以 在此模型的基础上进行实际问题的理论分析和科学研究。显然，建立的数学模型必须精确地 逼近实际问题，否则，在理论分析中即使采用最巧妙的数学处理，其结果也未必有用。因 此，建立一个完善的数学模型乃是解决各类实际问题的关键。
所谓数学模型，指的是对客观事物的一种抽象的模拟，它遵循事物固有的规律性，通过 数学语言(数学符号、数学表达式、图形等)刻画出客观事物的本质属性及其与周围事物的内在 联系。应当指出，通常与客观事物完全吻合的数学表述并不多见，因此实际的数学模型往往 是在对实际问题进行理想化假设后所给出的数学描述。此外，数学模型的确立，还必须要求它的分析计算结果能为实验、测试所证实，或者它能被推广说明许多事实，乃至可以预测为人们 所公认的结果。例如，牛顿创立的万有引力定律就经受了对哈雷彗星的研究、海王星的发现等 大量事实的考验。同样，麦克斯韦(J.C.Maxwell,1831～1879) 在1865年提出电磁场基本方程 组，并预言了电磁波的存在。至今， 一百多年来电磁学科领域科技发展的进程证明麦克斯韦方 程组是宏观电磁现象与电磁过程普遍适用的数学模型，奠定了经典电磁理论的基础。
既然数学模型是客观事物的一种数学描述，因而对于同一事物，基于不同的出发点，就 可以有不同类型的数学模型的描述。根据构造数学模型的数学方法分类，模型可以分为微分 方程模型、积分方程模型、优化模型和控制论模型等。根据问题中变量的特征分类，模型又 可分为确定性模型与随机性模型。根据问题的变化情况又可分为连续型模型与离散型模型。 此外，还有线性模型与非线性模型，静态模型与动态模型等分类方法。应指出，数学模型的 分类并不具有特殊的意义，但概念的引人将便于理解，有助于综合使用各种数学工具，从各 个不同侧面去揭示某一实际问题的本质属性。
如上所述，宏观电磁理论最高度概括的数学模型就是麦克斯韦方程组。结合实际问题中千 变万化的定解条件(边界条件与初始条件),在引用相应的数学方法后，常用的各类电磁场问题 的数学模型可以归结为微分方程模型、积分方程模型和属于优化模型的变分方程模型三大类。
1.2 电磁场正问题数值分析的任务和内容
鉴于工程电磁场问题的复杂性，即各类电磁装置在其结构、几何形状上的复杂性，以及 在材料性质变化上的复杂性，致使应用于电磁场分析计算的各种解析方法，例如分离变量法、 保角变换法、镜像法和格林函数法等，已经无法适应广泛工程问题分析求解的需要。因而，30 余年来，随着计算机技术的飞速发展，属于近似计算方法范畴的各种电磁场数值许算方法得到 了长足的进展，并最终已可满足科技和工程方面对于数学模型精确分析的实际需要。
归属电磁场分析研究领域的各类电磁装置中的电磁场问题，其共同的基本点在于给定场 的计算区域、各区域材料(媒质)组成和特性，以及激励源的特性，求其场域中场量随时间、 空间分布的规律(场分布),即构成为电磁场的正问题。因面，对应于电磁场正问题的电磁场 数值分析的任务是根据电磁场的基本特性，即基于麦克斯韦方程组，首先，建立逼近实际工 程电磁场正问题的连续型的数学模型；然后，采用相应的数值计算方法，经离散化处理，把 连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型——由离散数值构成的联立代数方程组(离散 方程组),应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学模型的离散解(即场量的数值 解);最后，在所得该电磁场正问题的场量(含位函数)离散解的基础上再经各种后处理过程， 就可以求出所需的场域中任意点处的场强、任意区域的能量、损耗分布，以及力、力矩和各 类电磁参数与性能指标等，以达到对给定的工程电磁场正问题进行理论分析、工程判断乃至 优化设计等目的。
综合电磁场正问题数值分析处理的全过程，其流程图如图1-1所示。由图可见，以各种 数值计算方法为其核心，执行电磁场正问题数值分析不仅必须具备一定的数学、物理基础和 有关电磁场的专门知识，而且建模过程在很大程度上还必须有赖于工程知识和经验的积累， 使之有可能采用恰当的理想化假设，准确地给定问题的定解条件(初始条件和边界条件)。此 外，对应于计算流程的前处理(如场域剖分、数据文件构成等)、数据处理和后处理(如等位线、通量线描绘，以及场强、电磁参数、能量和力的计算等),分析者在计算机编程和应用方面 的能力 ， 以及包括计算机软件支持条件等 ， 均是实现数值计算的重要因素 。
前已指出 ， 高速 、 大容量计算机的问世 ， 为高精度 、 高效率的数值计算奠定了基础 。 经 过 3 0 余 年 来 的 发 展 ， 电 磁 场 正 问 题 的 数 值 分 析 已 经 取 得 大 量 应 用 研 究 和 工 程 分 析 、 设 计 的 成 果 ， 各 种 电 磁场 CAD 商 品 化 软 件 也 已 进 人 相 关 的 研 究 部 门 、 生 产 企 业 ， 产 生 日 益 明 显 的经济效益。与此同时，电磁场数值计算的理论和方法日趋完善，业已成为电工理论学科中的 一门新兴的应用学科分支。
就电磁场正问题数值分析的核心内容——各种实用的数值计算方法而论，它们是将原连 续型数学模型转化为等价的离散型数学模型的基础。取决于不同的数学内涵，目前在电磁场 数值分析中常用的数值计算方法有：应用于微分方程型数学模型的有限差分法、有限元法和 蒙特卡洛法；应用于积分方程型数学模型的模拟电荷法、矩量法和边界元法，以及基于直接 积分运算关系式的数值积分法等。此外，各类数值计算方法的相互组合，例如微分和积分组 合型数学模型的单标量磁位法、双标量磁位法等，进一步拓展了数值计算方法在工程实践中 的应用。本书将分章阐述其中常用的主要方法及其工程应用。
1.3 电磁场逆问题数值分析的任务和内容
当前，工程科学技术的发展已经在各类电磁装置的综合问题上，即电磁场逆问题的数值 分析研究领域，提出了日益迫切的需求。与电磁场正问题相对应，电磁场逆问题就是给定电 磁装置理想的性能指标或参数，然后通过装置的优化设计来实现这一目标。目前，对于电磁 场逆问题的求解，都是将其分解为一系列的正问题，然后采用一定的优化方法通过迭代解算 达到最终优化设计的目的。由于在每一步迭代计算中，需要进行若干次电磁场正问题的数值 计算和其他一些辅助计算，因此，相对正问题而言，逆问题的求解、计算量大，占用计算机 内存和 CPU 时间多。也正因如此，惟有随着计算机技术的发展，以及电磁场数值计算理论 和方法的不断丰富和完善，才使电磁场逆问题从20世纪80年代中期以来成为电磁场学术与 工程界关注的研究热点，并日益展现其令人瞩目的工程实用前景。
综合电磁场逆问题数值分析处理的全过程，其流程图如图1-2所示。鉴于工程优化设计的实际需要，如后第3篇所述，本书以工程电磁场问题的全局优化为逆问题数值分析的论 点，因此，与图1-2中所列各种优化算法对应的全局优化算法，目前应用的有模拟退火算 法、基因算法、进化算法、禁忌算法和神经网络等随机类优化算法。本书将分节阐述其中常 用的主要方法及其工程应用。
1.4 电磁场的基本规律-----麦克斯韦方程组
宏观电磁现象的基本规律可以非常简洁地用一个方程组，即麦克斯韦方程组来表示。这 一 电磁场基本方程组的基本变量为四个场向量：电场强度 E(V/m) 、 磁感应强度 B(T) 、 电 位移向量 D(C/n²) 和磁场强度 H(A/m); 以及两个源量：电流密度 J(A/m²) 和电荷密度 p(C/m³) 。 在静止媒质中其徽分形式可以表示为
为表征在电磁场作用下媒质的宏观电磁特性，尚应给出以下三个媒质的构成关系式：
应当注意，式(1-5)～式(1-7)中分别引入的媒质宏观特征参数——介电常数ε、磁导率μ和 电导率γ,只有在线性且各向同性媒质的情况下，才是简单的常数。工程上广泛应用的铁磁 材料，其 B—H 关系呈现为含有磁滞效应和损耗的复杂的非线性规律，此时，μ=μ(H) 为 依赖于场量变化的某个函数表达式。此外， e 和μ还可以描述各向异性材料，这时由于材料 中通量密度方向与场强方向的不一致，它们应分别记作张量。在SI 单位制中，对应于自由 空间的介电常数 Eo=8.854×10-¹²F/m; 磁 导 率 μo=4π×10-⁷H/m, 满足在真空中光速 c=(μoEo)-¹/2=2.998×10⁸m/s 的基本关系。麦克斯韦方程组描述了场源(电荷、电流)激发电 磁场的一般规律，而从全面分析电磁场问题的需要出发，还常引用另一基本方程，即电荷守恒定律
这 一 表征时变电荷与全电流密度之间关系的连续性方程可由麦克斯韦方程组直接导出。 此外，从另 一 侧面为描述电磁场对电荷与电流(运动电荷)的作用，其规律归结为洛仑兹力公式
1.4.1 动态电磁场
对应于动态情况下的时变电磁场，其基本方程即为一般形式的麦克斯韦方程组[式(1-1) ~式(1-4)]。此时，式中的场量(E、B、D、H) 和源量(J、p)均为空间坐标(位矢 r=1x,y,z})和时间坐标(t)的函数。例如，天线辐射和接收场、速调管和磁控管这类电子装置中的场均 属动态电磁场。
应指出，麦克斯韦方程组的四个方程并不都是独立的。如对式(1-1)取散度，并代 人连续性方程[式(1-8)],即导得式(1-4);同理，如对式(1-2)取散度，即导得式(1- 3)。因此，只有两个旋度方程[式(1-1)和式(1-2)]是独立方程。鉴于每一个旋度方程对 应于三个标量方程，所以麦克斯韦方程组给出了六个独立的标量方程。这样，在给定 场源与相应的定解条件下，求解时变电磁场时，面对待求场向量(E 、B 、D 、H) 共十二 个独立的待求分量，麦克斯韦方程组必须与媒质的构成关系式[式(1-5)～式(1-7)]相 结合，才能完成数学模型的构造。
1.4.2 时谐电磁场
在电气工程、无线电工程和电子工程装置中，常涉及随时间按正弦规律变化的电磁 场(若是线性媒质中按非正弦周期变化的电磁场，则可以通过分解为基波和各次谐波正 弦激励的叠加，予以分析处理)。例如，电磁信息传输中的波导场，交流电机、电器中 的电磁场等。这时，在线性媒质、正弦激励且稳态条件下， 一般形式的麦克斯韦方程组可归结为不显含时间的复相量表示形式。这就是说，任何一个电、磁场量都可用一 复相量表示，例如，电场强度可用一个与时间无关的复相量表示成 E(r)=E(r)e₂(), 它所对应的实际时变电场则可取 √ 2E(r)e “的实部而得(w 为正弦激励的角频 率),即所论场点 p 处电场的实时描述为
这样，正弦稳态情况下的时变电磁场(时谐电磁场),由麦克斯韦方程组可推得其对应的相量形式为
式中，以相量形式表征的各场量和源量均仅为空间坐标的函数，其模为相应正弦量的有效值。
1.4.3 准静态场
在分析研究导电媒质中的时变电磁场时，若场域中各处位移电流密度远小于传导电流密 度，则可忽略位移电流效应。此时，该时变电磁场即称之为准静态情况下的电磁场(磁准静 态场),其基本方程除麦克斯韦第一方程(1-1)可近似表述为
之外，其余方程(1-2)、(1-3)和(1-4)保持有效。而且基于式(1-14),因任一向量旋度的散度恒等于零，故在准静态下电荷守恒定律归结为
显然，若该磁准静态场处于正弦激励、稳态工况下，则如上述，式(1-14)将进而可由相量表示为
而与其他相量形式的方程(1-11)、(1-12)和(1-13)共同组成时谐的磁准静态场基本方程组。 同样，电荷守恒定律表示成
值得指出，此时，就导电媒质而言，应满足所谓良导体条件，即该媒质的电导率γ>>uE。 按这一条件可见，相应的磁准静态场的激励源频率将可扩展至X 射线的频率段。电工技术 中的涡流问题就是这类磁准静态场的典型应用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、感应加 热装置、磁悬浮系统、磁记录头和螺线管传动机构等工程问题之中。
与磁准静态场相对应，还存在另一种可忽略电磁感应效应而导出的准静态情况下的时变 电磁场(电准静态场)。这类场的基本方程除麦克斯韦第二方程(1-2)可近似表述为
之外，其余方程(1-1)、(1-3)和(1-4)保持有效。电力传输系统和装置中的高压电场，各种 电子器件、设备和天线近区的电场等，均属这类电准静态场的工程应用实例。
应该指出，无论是忽略电磁感应效应的电准静态，还是忽略位移电流效应的磁准静态， 它们都满足所谓准静态条件：L<<λ [或(L/c)<<T]。 也就是说，电磁波以速度c 传播通过 所论电磁系统的最大线度尺寸 L, 其所需时间应远小于该电磁波变动一个周期所对应的时间 T。 显然，准静态下的源量和场量都是时间和空间的函数，但电磁波传播的推迟作用可以忽 略不计，这表明给定某一瞬间的源，即决定了同一瞬间的场分布，而该场分布与稍早瞬间的 源状态并无关联。同样，这也表明，对于给定瞬间准静态场的分析计算，完全等同于相应的静态场问题。
详细内容请见附件
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