作业2 答案第2部分

五、刚性梁结构的强度校核与位移分析

如图所示结构，水平梁      可视为刚性梁，左端      为铰支座。梁由一根钢圆杆      支撑。已知：

1. 钢圆杆       ：直径       ，材料许用应力       ，弹性模量       。
2. 几何尺寸：      ，      （即       ），杆        与梁        的夹角为       。
3. 载荷：在梁端        点作用一竖直向下的集中力       。
    

要求：

1. 求结构的许可载荷       。
2. 计算当        时，       点的竖向位移       。

1. 静力平衡分析

取刚性梁      为研究对象，设      杆的轴力为     。对支座      点取力矩平衡方程     ：

代入已知尺寸：

2. 计算许可载荷     

首先计算钢杆      的横截面面积     ：

根据强度条件     ，有：

3. 变形几何关系分析

由于      为刚性梁，其绕      点转动后，各点的竖向位移与该点到      点的距离成正比。 设      点的竖向位移为     ，     点的竖向位移为     。

根据相似三角形关系：

设钢杆      的轴向伸长量为     ，根据位移投影规律：

联立得      点位移与杆件伸长量的关系：

4. 计算      点位移（当      时）

已知     ，则轴力     。 钢杆      的长度      为：

计算钢杆的伸长量     ：

最后求得      点的竖向位移：

结论： 结构的许可载荷为     ；在      载荷作用下，     点下沉     。

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六、三杆超静定结构的位移与轴力分析

如图所示结构，三根杆件（1、2、3）铰接于点     。已知：

1. 几何尺寸：杆 2 长度为       （铅垂布置），杆 3 长度为       （水平布置），杆 1 长度为       （与铅垂方向成        夹角）。
2. 材料性质：三杆的抗拉刚度均为       。
3. 载荷情况：在节点        处作用一沿铅垂方向向下的外力       。
    

试求： 各杆的轴力     。

详 细 解 答 推 导

1. 建立力平衡方程

设节点      向右的水平位移为     ，向下的垂直位移为     。根据节点      的静力平衡条件：

• 水平方向平衡 (      )：

     

• 铅垂方向平衡 (      )：

     

2. 几何协调关系（位移代数法）

参见

第八夜：影子的奥秘——既然这么小，何必那么真？（小变形假设推论）

第23夜：坐标系的魔法——如何“锁死”消失的节点（作业2第二题代数方法）？

利用位移投影规律，将各杆的伸长量      用节点位移      表示：

• 杆 3（水平）：

     

• 杆 2（铅垂）：

     

• 杆 1（倾斜）：

     

3. 物理关系（胡克定律）

根据      列出各杆轴力表达式：

• 杆 1 轴力：

     

• 杆 2 轴力：

     

• 杆 3 轴力：

     

4. 联立求解节点位移

将物理关系代入平衡方程中： 由      整理得：

由      整理得：