有限元计算中的沙漏与剪切锁定现象分析
在有限元分析中，六面体单元往往是我们优先考虑的，六面体单元的主要优势之一是其兼具精度（当单元形状良好时）和运行效率；这通常使得六面体单元比其他实体单元公式更经济。然而，这并非没有代价，在使用六面体单元模拟以弯曲为主的变形模式时，必须考虑三个主要问题：沙漏、剪切锁定、体积锁定。本文主要聚焦于前两个问题。
图1 线性4节点单元沙漏模式
剪切锁定可能发生在受弯曲影响的一阶全积分单元(C3D8)中。图2为线性4节点单元剪切锁定模式，由于采用了一阶全积分单元，有4个积分点，由于单元边缘无法弯曲而产生人为剪应变。由于这种非物理剪应变，这些单元在用于弯曲主导问题时可能会刚度过高。
图2 线性4节点单元剪切锁定模式
下面以一根悬臂梁端部受集中载荷的例子来说明以上现象及解决办法。图3悬臂梁截面尺寸为10mm*10mm，长度为100mm，端部受集中载荷1000N，使用六面体单元划分网格。
图3 悬臂梁模型
1.理论解
2.有限元分析
(1) 使用一阶缩减积分单元C3D8R
为了比较网格尺寸对结果的影响，在每种积分单元下，都对比了粗、细两种网格对结果的影响。
图4 选择“一阶缩减积分单元”
图5 结果对比
由图5可知，使用一阶缩减积分单元，存在伪应变能。使用粗网格时，比理论值高34.02%，说明梁变“柔”了，发生了沙漏现象。细化网格后比理论值高5.15%，可见细化网格能提升结果的准确度，并且降低了伪应变能与内能之比。
(2) 使用一阶全积分单元C3D8
图6 选择“一阶全积分单元”
图7 结果对比
由图7可知，使用一阶全积分单元时，不存在伪应变能。使用粗网格时，结果比理论值低23.20%，说明梁变“刚”了，发生了剪切锁定。细化网格后结果非常接近理论值，可见在使用一阶全节分单元时，细化网格能大幅提升结果的准确度。
(3) 使用一阶非协调模式C3D8I
非协调模式是在一阶单元中引入一个增强单元变形梯度的附加自由度，这种对变形梯度的增强允许一阶单元在单元域上对于变形梯度有一个线性变化。
图8 选择“一阶非协调模式”
图9 结果对比
由图9可知，使用一阶非协调模式时，也不存在伪应变能。当分别使用粗网格、细网格时，结果分别为-1.03%和0.52%，说明使用一阶非协调模式下，粗网格都能达到很好的精度。
(4) 使用二阶全积分单元C3D20
图10 选择“二阶全积分单元”
图11 结果对比
由图11可知，使用二阶全积分单元时，粗网格下的计算结果都十分接近理论解了。
(5) 使用二阶缩减积分单元C3D20R
图12 选择“二阶缩减积分单元”
图13 结果对比
使用二阶缩减积分单元，粗网格下的结果几乎等于理论值，可见二阶缩减积分单元可显著减少沙漏问题，因它们具有更多积分点或节点自由度，会增加计算成本，但需注意二阶单元在大应变或接触分析中可能不适用。
“杂交公式”主要是解决体积锁定的，不在此篇文章中讨论。
3. 总结
为了便于比较，把上述结果分类整理，如表1所示。
表1 各种设置下结果与理论解的误差率
如表1所示，使用一阶全积分单元时，粗网格下会发生剪切锁定现象；使用一阶缩减积分单元时，粗网格下会发生沙漏现象。细化网格、使用一阶单元下的非协调模式、使用二阶单元这三种措施都能有效改善以上现象，提高计算结果的准确度。
