模态分析理论干货，从动力学方程解构模态分析的核心！
模态分析是计算结构振动特性的技术，是动力学分析的基础。结构工程中，通过识别结构的固有频率、阻尼比和模态振型等动力特性，为结构避免共振、发现薄弱环节、故障诊断与监测、振动与噪声控制、载荷识别、后续动力学分析等提供了动态性能评估与优化的科学依据。
模态分析本质上是研究结构在自由振动状态下的固有动力特性。结构的模态如同其“动力学指纹”，由固有频率、阻尼比和模态振型三大参数构成，并完全取决于结构自身的物理属性（质量分布、刚度特性与边界条件等），与外部载荷无关。
PART.01
模态分析微分方程
为了便于理解有关概念，对模态分析涉及的基础理论论述必不可少。其理论的基础是基于结构动力学方程，如下：
图1 结构振动模型
对于结构的模态分析，由于研究的是结构自身振动特性，因此外部激励不参与，即结构自由振动，f(t)=0。理论上，模态分析可考虑有阻尼和无阻尼两类情况，因此根据结构动力学方程，模态分析运动微分方程可表示如下:
① 无阻尼方微分程:
其中:
M为质量矩阵(对称正定)；
C为阻尼矩阵(解耦条件:需满足C=αM+βK，α、β为常数，否则需复模态分析)；
K为刚度矩阵(对称正定或半正定)；
u(t)为位移向量。
从微分方程看，模态分析的核心在于求解上述微分方程的特征值和特征向量。通过特征值求解，可得到结构的固有频率（系统自由振动的特征频率）和模态振型（特定频率下的振动变形形态），而阻尼比则表征振动能量耗散快慢。
PART.02
无阻尼的模态分析
一、多质点或多自由度情况
模态分析假设解为简谐振动形式:
代入方程后得到广义特征值问题：
该问题非零解的条件为系数矩阵行列式为零：
该方程的解为 n 个特征值 ωᵢ²(对应固有频率）和特征向量Фᵢ （对应振型）。即特征值对应的特征向量相当于自振频率对应的振型。
无阻尼的多自由度(多质点)模态分析微分方程的通解，如下:
其中:
Фᵢ--为第i阶振型向量
ωᵢ--为第i阶固有频率，ωᵢ²=λᵢ，λᵢ为特征值
Aᵢ、Bᵢ--为待定系数，由初始条件确定。
从通解形式可以看到，无阻尼多自由度系统的自由振动微分方程通解的本质是固有振型的线性组合，即满足模态叠加原理。
通过求微分方程的特征值问题，求解得到系统的固有频率和振型向量，再通过线性组合得到系统响应。系统响应是各阶固有振动的叠加，每阶模态以固有频率 ωᵢ 独立振动。每个模态坐标的解为:
从模态坐标的解可知， 固有频率ωᵢ和振型向量Фᵢ由系统质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]唯一确定。此外，由质量矩阵和刚度矩阵的性质，不同阶振型满足质量/刚度正交性(ФᵢᵀMФⱼ=0，i≠j)，这是解耦的基础。
在无阻尼系统中，由于没有阻尼消耗系统能量，各模态能量独立守恒，总能量为各模态能量之和。
二、单质点或单自由度情况
对于无阻尼单自由度(单质点)这种特殊情况下，微分方程的解，如下:
上式中，ωₙ为固有角频率，C1和C2为初始条件确定的待定系数。单自由度的解与模态坐标的解形式一致。对于上式，其等价于:
其中，A为振幅，Ф为初始相位角:
需要注意，以上模态分析同样假定了结构自由振动为简谐运动。此外，运动的频率(Hz)和周期(T)的关系如下:
PART.03
有阻尼的模态分析
一、多质点或多自由度情况
对于有阻尼的多自由度系统，其微分方程的通解如下:
qᵢ(t)为第i阶模态的坐标(广义坐标)，其解耦方程为:
其中:
Фᵢ--为第i阶振型向量
Kᵢ=ФᵢᵀKФᵢ(模态刚度)
Cᵢ=ФᵢᵀCФᵢ=2ζᵢMᵢωᵢ(模态阻尼系数)
ζᵢ为第i阶模态阻尼比，ωᵢ为第i阶无阻尼固有频率
在解耦方程中，模态坐标的解qᵢ(t)根据阻尼情况可分为：欠阻尼(ζᵢ＜1)、临界阻尼(ζᵢ=1)和过阻尼(ζᵢ＞1)情形，如下所示:
① 欠阻尼
② 临界阻尼
③ 过阻尼
实际工程中，绝大多数系统为欠阻尼状态（阻尼比ζᵢ 通常小于0.2），此时 有阻尼的固有频率ωdi≈无阻尼固有频率ωᵢ，通常可忽略阻尼对频率的影响。
有阻尼的多自由度系统中，系统响应同样是各阶固有振动的叠加，每阶模态以阻尼固有频率ωdi (欠阻尼情形) 独立振动。
与无阻尼系统相比，有阻尼时，阻尼导致振幅衰减，衰减率由ζᵢ ωᵢ决定。此外在经典阻尼下，不同模态同样满足正交性(i≠j)：
二、单质点或单自由度情况
对于有阻尼单自由度(单质点)这种特殊情况，其振动微分方程通解形式同样取决于阻尼比（ζ）的大小。分为：欠阻尼（ζ < 1）、临界阻尼（ζ = 1）、过阻尼（ζ > 1）三种情况。
① 欠阻尼（ 0 < ζ< 1）
通解形式:
或等价于:
② 临界阻尼（ ζ=1）
临界阻尼下系统能够最快恢复平衡位置，无振荡。临界阻尼系数为:
③ 过阻尼（ ζ＞1）
通解形式:
运动为缓慢指数衰减，无振荡，恢复时间比临界阻尼更长。
三、关于阻尼
在实际工程中，振动系统的结构能量并不表现为常数，部分能量会逐渐转变为热能或噪声等。由于能量耗散致使振动的结构响应逐渐减弱，可以使振动最终停下来，我们将这种复杂的能量耗散机理统一用阻尼来表示。
结构动力学分析中的阻尼正是振动能量耗散的机制。阻尼的大小取决于材料、运动速度和振动频率等。
从前述内容可知，模态分析中的固有频率分为无阻尼固有频率和有阻尼固有频率。通常意义的固有频率描述的是无阻尼固有频率，而现实中描述的固有频率都是有阻尼固有频率，因为现实结构中必然包含阻尼。但是由于现实的结构中，除了含有阻尼机制的模型以外，一般的阻尼比都小于10%，因此阻尼对固有频率的影响很小。
在有限元分析中，如果为实模态分析，则结果中的固有频率为无阻尼固有频率；如果是复模态分析，则结果中的固有频率为有阻尼固有频率。
在现实工程中，常用零部件的阻尼比一般有其特定范围。如：大型管道2%~3%、小型管道1%~2%、焊接结构 2%~4%、螺栓联结结构4%~7%、预应力混凝土2%~5%、钢筋混凝土4%~ 7%。
值得一提的是，阻尼常表现为以下几种类型：
① 黏性阻尼：这是最常见的阻尼形式，例如系统在流体介质内振动，流体产生的黏性阻力必然导致振动能量损耗。其影响因素包括物体形状、尺寸、流体的黏度、运动速度及振动频率等。
② 库仑阻尼或干摩擦阻尼：这类阻尼由无润滑状态下的摩擦力产生，与运动方向相反，由摩擦系数定义。
③ 材料阻尼或固体阻尼、滞后阻尼：材料变形时，材料内部产生的位错或滑移而导致能量损耗，影响因素为位移或应变。
④ 数值阻尼：人工定义的阻尼，方便计算。
以上这几种阻尼均有累积叠加的特性。
动力学中常用的阻尼形式有阻尼比、α阻尼和β阻尼。其中α阻尼和β阻尼统称为瑞利阻尼（Rayleigh阻尼）。
阻尼比是阻尼系数与临界阻尼系数之比。临界阻尼系数定义为出现振荡与非振荡行为之间的临界点的阻尼值，此时阻尼比ζ=1.0，对于单自由度弹簧质量系统而言，质量为m，圆频率为ω，则临界阻尼Ccr=2mω。
瑞利阻尼（Rayleigh阻尼）: 包括α阻尼和β阻尼。如果质量矩阵为M，刚度矩阵为K，则瑞利阻尼矩阵为C=αM+βK，所以α阻尼和β阻尼分别被称为质量阻尼和刚度阻尼。
阻尼比与瑞利阻尼之间的关系为:
从此公式可以看出，质量阻尼过滤低频部分(频率越低，阻尼越大)，而刚度阻尼则过滤高频部分(频率越高，阻尼越大)。运用上述关系式，指定两个频率ωi和ωj对应的阻尼比ζi和ζj，则可以计算出α阻尼和β阻尼：
阻尼值量级：以α阻尼为例，α=0.5为很小的阻尼，α=2.5 为显著的阻尼，α=5~10为非常显著的阻尼，α>10为很大的阻尼。在不同阻尼情况下，结构的变形可能会有比较明显的差异。
在ANSYS中，阻尼或阻尼形式较多。如：α全局质量阻尼系数、β全局刚度阻尼系数、αi材料质量阻尼系数、βj材料刚度阻尼系数、Ck单元阻尼矩阵（以单元表现的阻尼形式，如：弹簧）、基于频率的阻尼矩阵等等。有关这些阻尼的解析，留作后续再聊吧~
