有限元方法中的数值技术：稀疏方程组直接求解

稀疏矩阵中分布着大量的零元素，可以对列选主元高斯消元法进行一点改进，避免对0元素的运算，将会大大减少运算次数。这里不考虑压缩存储。

在进行消元的循环中，原来为：

do i = k+1,n
 temp = ab(i,k)/ab(k,k)
 ab(i,:) = ab(i,:) - temp*ab(k,:)
end do

可以替换为下列语句：

do i = k+1,n
 if (ab(i,k) /= 0.0d0) then
  temp = ab(i,k)/ab(k,k)
  ab(i,:) = ab(i,:) - temp*ab(k,:)
  cnt_elim = cnt_elim + 1 ! 消元次数计数器
 end if
end do

数值案例

系数矩阵：

右端向量：

改进前消元次数：

 Total elimination steps:          28
    0.100000D+01
    0.148030D-15
    0.200000D+01
   -0.200000D+01
    0.400000D+01
   -0.100000D+01
    0.300000D+01
    0.100000D+01

改进后消元次数：

 Total elimination steps:           7
    0.100000D+01
    0.148030D-15
    0.200000D+01
   -0.200000D+01
    0.400000D+01
   -0.100000D+01
    0.300000D+01
    0.100000D+01

从上面结果来看，大大减低了消元次数。

参考文献

1. 徐士良.FORTRAN常用算法程序集 第二版[M].清华大学出版社,1995.