通过Ramberg-Osgood方程获取应力应变曲线

   在结构弹塑性分析时，准确的材料应力-应变曲线变得十分重要。然而,获得这些准确数据通常比较困难，因此通常使用近似方法来获取可用的数据。本文介绍如何通过Ramberg-Osgood方程获得近似应力-应变曲线。

探索曲线简化

在深入研究该方法之前，让我们先来探讨一下在缺乏精确数据时常用的现有简化方法。这些方法包括理想刚塑性曲线、理想弹塑性曲线和线性应变硬化弹塑性曲线 。

介绍Ramberg-Osgood关系

Ramberg-Osgood方程用于描述材料在屈服点之后的应力和应变之间的非线性关系 ，即应力-应变曲线。该方程尤其适用于塑性变形后硬化的延展性金属 ，呈现出平滑的弹塑性过渡。

该方程表示为：

这里，ε 表示总应变，σ 表示应力，E 表示杨氏模量，而 K 和 n 是与材料相关的常数。在上面的表达式中，项 σ/E 是弹性应变部分，项 K(σ/E) n 是塑性应变部分。

值得注意的是，该方程将工程应力与工程应变联系起来，因此在有限元分析 (FEA) 软件中使用之前，必须将其转换为真实应力和真实应变 。

H.N.Hill方程

虽然 Ramberg-Osgood 关系提供了精确度， 但确定参数 K 和 n 却颇具挑战性 。为了解决这个问题，HN Hill 提出了一种改进的方程，通过直接考虑屈服强度来简化参数估算。HN 希尔方程表示为：

其中 σ _YS 表示屈服强度。请注意，在上述表达式中，用 σ/E 表示的弹性应变分量保持不变。然而，用 0.002(σ/σ _YS ) ⁿ 表示的塑性应变分量发生了变化，导致“K”项消失。取而代之的是屈服强度，这是一个易于获取的材料属性。

        让我们重新审视屈服强度的定义。屈服强度表示材料在不发生显著永久变形的情况下能够承受的最大应力，通常以 0.2%的塑性应变为特征。该参数对于指示材料在拉伸或压缩载荷下从弹性行为转变为塑性行为的阈值至关重要。一旦超过屈服强度，材料就会发生塑性变形（即使已经有 0.2%的塑性应变，我们通常将其设置为零），这意味着在载荷移除后它不会恢复到原始形状。需要强调的是， 比例极限实际上是弹性区域末端的应力，此时塑性应变为零。

在 HN 希尔方程中，采用了这样的定义： 当应力等于屈服强度时，相应的塑性应变为 0.2% 。因此， 塑性应变为零时的应力将低于屈服强度 。该应力称为比例极限 。

计算参数“n”

确定参数“n”对于曲线精度至关重要。利用已知的机械性能，例如极限抗拉强度（σ _UTS ）和最大伸长率（ε _max ） ，可以使用以下公式计算“n”：

分离“n”，可得：

转换为真应力-应变

由于工程应力-应变曲线应用广泛，因此对于有限元分析软件来说，将其转换为真实应力-应变曲线至关重要。该转换通过以下公式实现：

示例： ASTM A36 为例

        让我们以最常见的材料 ASTM A36 为例，逐步深入地了解其性能。以下机械性能数据可在网上轻松找到：

步骤 1：计算“n”

首先，我们利用已知的机械特性计算“n”：

第 2 步：推导工程应力/应变曲线

利用求出的“n”，我们得到工程应力-应变曲线：

步骤 3：转换为真实应力/应变

将工程值转换为真实应力/应变涉及：

例如，表中工程应力为 300 MPa，应变为 0.01338960：

我们可以计算上表中所有数据点的这些值。通过叠加这两个图表，我们可以直观地看出工程应力/应变与真实应力/应变之间的差异。结果比较如下所示：

请注意，在较小应变时，两条曲线非常相似。然而， 随着应变的增加，它们之间的差异变得显著。 这是因为真实应力计算考虑了瞬时横截面积 ，而工程应变仅考虑初始横截面积 。当物体因拉伸载荷而变形时，由于泊松效应，横截面积会减小。由于应力定义为力除以面积，因此面积减小会导致应力增大。因此，对于大应变，真实应力超过工程应力。

针对真实应力/应变生成的新表格是：

步骤 4：提取真实应力与真实塑性应变曲线

我们目前拥有真应力与总应变曲线。在有限元方法软件中，合适的曲线是真应力与真塑性应变曲线。 因此，我们必须从之前的曲线中排除真弹性应变分量。

我们采用提供的表达式，从表格中应力为 250.8 MPa（真实屈服强度）且应变为 0.00324473 的点开始，一直到最后一行，应力达到 480 MPa，应变为 0.18232156。计算结果如下所示：

步骤 5：计算真实塑性应变为零的真实应力

为了确保与 FEA 软件的兼容性， 表格的第一行应显示与零真塑性应变相对应的真应力值 。该值可以通过使用上表的前两点进行插值来确定。

因此，我们得到了适合输入 FEA 软件的应力-应变数据：

需要注意的是， 零塑性应变下的应力值与屈服强度并不一致 。此外，当真实塑性应变为 0.001995511 = 0.01995511%（上表第二行）时，应力等于 250.8 MPa，与真实屈服强度相符（而工程屈服强度仍为 250 MPa）。 塑性应变与屈服应变之间的差异是由于工程应变转换为真应变 ，导致其值与标称的 0.2% 略有不同。

重要提示

通过采用此方法推导真实应力/应变曲线， 可以在模型中加入高达 0.2% 的塑性应变，同时仍然假设零件未屈服 。这一论断成立，因为只有在真实塑性应变为 0.001995511 = 0.1995511%（四舍五入为 0.2%）时，我们才能观察到等于材料屈服强度的应力值。

使用 Python 进一步探索

我们开发了一个 Python 脚本来处理这些计算，并通过附加功能提供更准确的结果。它的优势如下：

• 考虑最佳应力分布直至极限抗拉强度。

• 在极限抗拉强度之外，脚本建立了一个线性函数，其斜率等于最后两点斜率的 7% 。这种保守的方法可以确保在更高的应力水平下进行更安全的计算。如果不进行这种调整，软件将仅仅依赖于最后两点的斜率。