湍流建模|06雷诺应力模型

导读：介绍雷诺应力模型Reynolds Stress Models (RSM)-上。

• 在RANS方程中，直接将雷诺应力张量作为附加的未知量      ：    
• 基于涡流粘度假设求解雷诺应力：

• 涡粘模型具有以下特点：
• 非常简单的模型
• 应力与应变之间的线性关系
• 雷诺应力和应变率张量通常不对齐
• 很好预测剪切流动(一个主要的剪切应力边界层，混合层，射流），但对复杂的流动相互作用有局限性
• 但在三维中，非平衡效应在流动中很重要时，涡粘性假设就失去了合理性：
• 具有强烈曲率和涡流（例如水力旋流器）
• 通过二次运动在角落中流动
• 复杂的三维相互作用流
• RSM模型直接求解雷诺应力的输运方程

• 雷诺应力的精确输运方程的推导      
• 额外的高阶项出现在精确的方程中→建模要求
• 雷诺应力模型求解了流体中每个雷诺应力的输运方程，以及e或w的方程（7个方程）
• 雷诺应力被直接插入到动量方程中
• 形式上，对于每一个额外的标量，例如温度——同样需要添加一个3个通量方程——所有水平上的二阶矩封闭
• RSM计算量很大：
• 需要求解更多的方程
• 比涡粘模型鲁棒性更差
• 可能具有更高的通用性和更好的准确性

• 将波动速度      、      分别乘上      、      ：    
• 将上述方程合并，并取时间平均，则得到精确的雷诺应力输运方程：

压力应变项

不同雷诺应力模型的区别就在于压力应变项的表述。

• 压力应变项可以重新表述为两个积分项。第一项只包含波动分量，第二项取决于平均流速梯度;
• 这两个项被称为快项和慢项：      ;快项之所以得名，是因为它依赖于平均流速梯度，因此对这些梯度的变化反应迅速，而慢项则不是,它需要湍流积累时间来进行调整;
• 这两个项有多种不同形式的模型，很大程度上定义了雷诺应力模型。通常会在简化和应用之间做一些取舍：
• 过于简单的模型可能会错过一些更重要的物理现象。
• 过于复杂的公式可能很难校准，甚至更难用数值方法求解。
• 保留的两个模型分别是：
• Launder-Reece and Rodi (LLR)
• Speziale-Sarkar-Gatski (SSG)

慢项

• 慢压力应变相关项倾向于将雷诺应力分量之间的湍流能量转向各向同性。因此，它通常用各向异性张量来表示：

• 在工程模型中，通常使用慢项：

• 最简单的模型，如 Launder-Reece-Rodi (LLR)，只使用线性（𝐶𝑠1）项；
• 更复杂的模型，如 Speziale-Sarkar-Gatski (SSG)，也包括非线性项（𝐶𝑠2）。

快项

• 快项是速度波动和雷诺应力的相互作用；
• 快速压力应变相关项取决于平均流速梯度：

• 在这个方程中𝑃=0.5      中，其中      为雷诺应力的产生项，      为平均应变率张量，      为涡度张量

散度项

• 散度项的特征是这些项是在一个微分算子下；
• 这一项最简单的模型是：

• 这个项将      从数值上的高水平转移到低水平（类似于传热算符）;
• 有更复杂的形式，但它们在工业条件下往往不稳定（不稳健）.

湍流耗散项

• 这个项与k方程中的耗散项非常相似。事实上，通过对其指数（收缩）的求和，k方程中的耗散项出现了;
• 这个项的张量形式简化为:

• 这个模型项只作用于雷诺应力的对角线元素，并总结为k-方程中的耗散𝜀;
• 由于耗散项𝜀出现在RSM的几个项中，因此𝜀的方程也需要求解（或者𝜔方程使用关系式𝜀=𝐶𝜇𝑘）。

Fluent中的标准雷诺应力模型是基于    方程。

• 具有各向同性公式的雷诺应力输运微分方程为：

•      为压力-应变相关性，      为生产项。
• 由于湍流耗散出现在单个应力方程中，需要      的方程，具有各向同性公式的方程为：