简单案例体会SIMPLE算法

一个简单的案例描述SIMPLE算法的使用流程。

SIMPLE算法采用分离方式求解压力速度耦合方程。其基本步骤包括：

1. 假设压力场    与速度场    
2. 利用假设的压力场，求解动量方程计算得到速度场    
3. 利用满足动量方程的速度场    更新质量流量，得到    
4. 利用新的质量流量求解压力修正方程，得到压力修正量    
5. 更新速度场与压力场，得到新的速度场    ，压力场    
6. 检查收敛性，若不收敛则转到第(2)步继续计算，直至计算收敛

举个简单的例子来说明此过程。如下图所示的水管系统，动量方程可写成：

其中，D为系数，  ,   ,   ,   ,   ，  。利用SIMPLE算法计算网络中未知的流量与压力。

图中，需要确定的压力值包括  ，流量值包括  。需要注意的是，流量与压力之间存在关联。

1、假设初始值

可以假设初始压力值。理论上讲，初始值可以随意假设。不过不良的初始值会导致计算收敛缓慢，甚至发散的问题。采用一个简单的原则进行压力初始值假定：压力值沿流动方向不断降低。

这里假设压力初始值为：  。

由于流量与压力之间显式相关，因此无需初始流量值。

2、基于初始压力值计算流量值

代入初始压力值，可以得到流量值：

这里得到的流量值不一定满足流量守恒。

3、判断守恒

通过计算所有内部节点的流量值来检查质量流量是否满足连续性，即有：

节点3（流出为正，流入为负）：

节点6：

节点8：

因此质量不守恒。内部节点的流量应当为零。

因此需要进行修正。

4、推导压力修正方程

假设节点3、6、8的修正压力分别为  ，其他节点的压力值已知，无需进行修正，即修正压力为零。因此可以得到各修正流量：

根据质量守恒，对于3、6、8节点，有：

即有：

将式（7）代入式（9）可得：

代入系数值后可得到：

将（3）式的流量值代入式（11）得到方程组：

求解得到压力修正值：

得到压力修正值后，计算新的流量值：

更新3、6、8节点的压力值：

5、检测流量平衡

检查3、6、8节点的流量平衡。

因此质量平衡。

根据式（11）可得新的压力修正方程为：

求解可得到：

修正量为零，表示前面计算得到的是最终解。

6、最终结果

可得到压力值：

流量值为：

注意，流量正负表示方向。

 

注：本案例采集自《The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics：An Advanced Introduction with OpenFOAM® and Matlab®》，为方便理解，对书中的叙述方式进行了调整。

”

SIMPLE算法理解起来比较困难，需要仔细体会。本案例仅用于帮助理解SIMPLE算法中的假设-修正过程，工程中的管路模型要比案例复杂得多，而且压力损失系数（案例中的参数D）并非常数，通常为流量的函数，求解起来要麻烦不少，不过总体思路差不太多。

（完毕）