有限元仿真分析误差来源之边界条件设置-动载荷

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作者优秀: 优秀教师/意见领袖/博士学历/特邀专家/独家讲师
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导读：前不久，笔者在仿真秀平台分享一篇关于有限元仿真分析误差来源之边界条件，约束和point mass，引发了工程师朋友们广泛关注和思考。通过与他们交流和讨论，我也有所所获。今天继续开展有限元仿真分析的边界条件的讨论，这次主要是关于动载荷问题。

刚开始参加工作的时候，有个项目考核试验要求对产品进行1500g加速度的冲击试验，当时我觉得这不可能通过考核，可是有经验的工程师却说没问题，当时就很奇怪，如果用静力学计算结构肯定被破坏了，在叠加上动载荷系数，结构肯定更受不了。然而事实是通过了冲击试验考核，这个是为什么呢？

一、认识动载荷系数

考虑这样一个问题，质量为m 的物体，被截面为A ,密度为

的杆件牵引，做匀加速度上升运动，此时加速度为a 。如下图所示。

图 1拉杆简图

要计算杆件x 处应力，根据达朗贝尔法可以得到如下方程。

（1）

这样动应力为

（2）

而静应力为

（3）

因此就会有

（4）

，

是动载荷系数，明显

，因此考虑动载荷计算的应力应该偏大。通过有限元计算来验证下。设置加速度条件如下。

图 2设置

大家可能会疑惑为什么要设两个加速度条件？即标准重力加速度和加速度，设一个加速代替两个不行吗？可以，但是要注意方向。workbench中的Acceleration是利用达朗贝尔法将动力学变成静力学，也就是施加一个和加速度方向相反的惯性力。而Standard Earth Gravity施加沿重力加速度方向的重力。

图 3仿真结果

单考虑重力加速度，提取截面应力发现应力为

。考虑重力加速度和加速度叠加，此时加速度为

，方向重力加速度方向相反，提取截面应力发现应力为

。发现动载荷系数

和理论计算值相差1%。也就是有加速度动载荷之后，应力变大。

但事实却不是这样。我们分析这个问题，其实通过达朗贝尔法已经将动载荷转化为静载荷了，这个时候载荷是不随时间变化。而冲击载荷实际上是随时间变化的外载荷。那随时间变化载荷，计算的应力是变大还是变小呢？

二、动力学分析

载荷随时间变化，那么就要搬出大家最熟悉的公式了。

（5）

和

分别为质量，刚度和阻尼矩阵。

为随时间变化的载荷。由于模态的正交性，我们研究载荷

作用下，最容易被激起的模态，这样将多自由度系统变成单自由度系统。一般冲击载荷为半正弦载荷，方程变成了如下所示。

（6）

省略拉氏变换和反拉氏变换的推导过程，直接得到结论如下。

（7）

其中

为静载荷作用下的位移，

我们进行下matlab仿真，看下在不同固有频率和载荷频率比值，即

下，结构响应。如下图所示。

图 4仿真结果

可以看出当载荷频率很高，远离受试产品的固有频率时，引起的响应很小。上图是针对单自由度系统，现实中都是多自由度系统，即受试产品具有无穷多阶固有频率。那么高频载荷作用下，就会和高频的固有频率发生共振，对于电子受试产品来说，高频对应的振型一般表现在电路板的局部模态，因此，高频冲击试验一般是对电路板的可靠性评价试验。

三、我的总结

1、workbench中加速度载荷，实际上是利用达朗贝尔动静法，将动载荷转化为静载荷。这种动载荷可以看作是跟时间无关的静载荷。但这种载荷一般用来分析匀加速运动情况下的结构受力。

2、冲击载荷对受试产品的影响，和以下几个方面的因素有关，即冲击载荷的频率以及受试产品的固有频率，还有冲击载荷的方向和受试产品模态振型的方向。当冲击载荷的频率和受试产品的固有频率接近，且冲击载荷方向和受试产品模态振型方向一致时，冲击载荷对受试产品的影响较大。

作者：青梅煮酒，仿真秀科普作者

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