高斯积分法计算一阶频率
1.理论基础
无限自由度体系的频率计算涉及偏微分方程及超越特征方程的求解，复杂且困难。工程应用中往往只关注若干个低阶自振频率。能量法和集中质量法是两种常用的计算频率的近似法。
能量法计算频率的依据是能量守恒原理。弹性结构发生无阻尼自由振动时具有两种形式的内在能量:一是结构因变形而引起的应变能 ;二是结构中的质量因发生运动而具有的动能 。这两种能量的总和在任一时刻是保持不变的，即
在结构往复振动过程中，当位移达到最大时其速度为零，也即当应变能达到最大值 时，其动能为零;而当变形为零，其应变能为零，动能达到最大值 。据此，有
以简支梁为例，设自由振动时梁的变形曲线为
式中 为位移幅值函数，是坐标的单一函数，应符合梁的变形协调条件， 为自振频率。
梁因弯曲变形引起的任一截面的曲率为
于是梁在任一时刻的弯曲应变能可写为
再将式(3)对时间求偏导，可得梁运动的速度为
由此得到梁的动能
结合(2)(5)(7)可得
如果除了分布质量，梁上还有集中质量 ，则上式改为
上述两式就是能量法近似求自振频率的计算式，这一计算频率的方法又称为瑞利法。计算时，关键一步是设定位移幅值函数 。如果所设的函数曲线与第一振型的形状曲线恰好一致或者相似，那么就可求得第一频率的精确解或精度较高的近似解;若所设曲线正好与第二或其他振型的形状一致或相似，则可求得第二或其他频率的精确解或精度较高的近似解。由于高阶频率的振型一般很难预估，计算时会导致误差偏大，故这种方法更适宜于计算第一频率。
2.数值计算
高斯积分的基本思想是：在积分区间内，精心选择一些非等距的积分点（高斯点），用这些点上的函数值乘以相应的权重系数后求和，来近似积分值。
对于一个在标准区间 上的积分，其公式为：
其中：
• --高斯积分点的个数 • --第 个高斯点的坐标（在区间 内） • --第 个高斯点对应的权重 • --被积函数
重要特性：对于 个高斯点，该方法可以精确积分最高 次的多项式。
根据被积函数 的多项式次数，选择足够的高斯点数 以保证精度。如果 和 是多项式，其乘积也是多项式，可以选择能精确积分的 值。常用 或 已能满足大部分工程精度。
常用高斯点与权重表（ 和 ）：
根据式(9)，用高斯积分法计算积分
的步骤：
✅1 坐标变换
将积分区间从物理坐标 映射到自然坐标 。
于是位移积分变为：
✅2定义被积函数
令：
✅3 计算积分近似值
利用公式：
3、算例应用
一根简支梁，长 ， 。用高斯积分法求一阶频率。
import numpy as np
def gauss_beam_frequency(L, EI, rhoA, n=3):
# 高斯积分点
if n == 2:
xi = np.array([-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)])
w = np.array([1.0, 1.0])
elif n == 3:
xi = np.array([-np.sqrt(3/5), 0.0, np.sqrt(3/5)])
w = np.array([5/9, 8/9, 5/9])
else:
raise ValueError("n=2 or 3 only")
# 变换 x(xi) = L/2 (xi + 1)
# phi(x) = sin(pi x / L)
# phi''(x) = -(pi/L)^2 sin(pi x / L)
pi_val = np.pi
stiffness_integral = 0.0
mass_integral = 0.0
for i in range(n):
x = L/2 * (xi[i] + 1)
phi = np.sin(pi_val * x / L)
phi_xx = -(pi_val / L)**2 * phi
# dx/dxi = L/2
stiffness_integral += w[i] * (phi_xx**2) * (L/2)
mass_integral += w[i] * (phi**2) * (L/2)
K = EI * stiffness_integral
M = rhoA * mass_integral
omega1 = np.sqrt(K / M)
return omega1
# Example
L = 1.0
EI = 1.0
rhoA = 1.0
omega = gauss_beam_frequency(L, EI, rhoA, n=3)
print("omega1 =", omega)
print("exact =", np.pi**2 / L**2 * np.sqrt(EI/(rhoA)))
