完全各向异性不排水效应对横观各向同性地层中任意倾斜井眼短时井壁稳定性的影响

摘要

钻后瞬时不排水孔隙弹性响应对于低渗透地层的短期井壁稳定性至关重要。尽管其意义重大，现有的横观各向同性地层解析不排水井眼应力解仅限于钻孔轴线垂直或平行于横向各向同性面的特殊情况。本研究通过将Amadei弹性框架扩展至不排水孔隙弹性领域，提出了横观各向同性地层中任意倾斜钻孔的解析不排水解，并考虑了完全各向异性不排水孔隙弹性效应。通过与不排水各向同性和横观各向同性解以及各向异性Biot有效应力系数的对比验证，证明了所提出模型的鲁棒性。所推导的Biot有效应力随后被用于评估不同井眼轨迹下的短期坍塌压力。结果表明，不排水井眼应力分布随着弹性各向异性和井眼压力的变化而显著偏离排水Amadei解，尤其在轴向和剪切应力分量方面。此外，使用排水Amadei应力解估算不排水孔隙压力响应会引入显著误差，凸显了采用完全各向异性不排水孔隙弹性框架的必要性。与各向同性地层不同，各向异性不排水孔隙压力响应呈现非对称分布，反映了剪切-拉伸耦合与流固耦合的综合作用。包含不排水效应的坍塌压力极坐标图与以往模型推导的结果存在显著差异，表明最优钻进方向可能与水平主应力方向不一致。该解析解为完全各向异性不排水井眼应力分布建立了基准，对增强强各向异性孔隙弹性地层中早期井壁稳定性评估具有重要意义。

1. 引言

孔隙弹性理论由Biot（1941）建立，并由Rice和Cleary（1976）进一步发展，是分析多孔地质地层中钻孔稳定性的关键框架（Detournay和Cheng，1988）。现有的解析孔隙弹性模型主要假设各向同性材料性质，或考虑与横向各向同性面垂直或平行的特殊井眼轨迹（Cui等，1998；Abousleiman和Cui，1998；Abousleiman和Ekbote，2005；Kanj和Abousleiman，2005；Bobet，2011；Liu等，2015；Gao等，2017；Cheng等，2019；Gao和Chen，2020；Tran等，2022；Chen等，2023；Fan等，2025；Lu等，2025）。对于横观各向同性地层中任意倾斜井，分析通常依赖于纯弹性各向异性解，这些解本质上排除了孔隙弹性效应（Lekhnitskii，1963；Amadei，1983；Aadnoy，1989；Fang，2018；Wang等，2022）。然而，这些纯弹性解析模型不足以准确模拟多孔地层中的钻进条件，因为它们忽视了孔隙压力变化的关键影响（Fjar等，2008）。

此外，在井眼开挖后，孔隙流体尚未消散，使得瞬时不排水响应对于理解短期井壁稳定性至关重要，特别是对于低渗透地层或存在滤饼的情况（Abousleiman和Cui，1998；Bobet，2011；Gao等，2016；Liu等，2022；Chen等，2023；Nordas等，2025）。因此，迫切需要开发一个专门针对任意倾斜井的综合各向异性不排水井壁稳定性模型。然而，倾斜钻孔的完全各向异性不排水孔隙弹性响应在解析解中仍是一个悬而未决的问题。

以往关于解析各向异性井眼应力解的研究主要采用Lekhnitskii（1963）和Amadei（1983）建立的复应力函数来探讨各向异性力学性质的影响（Hou等，2013）。这些纯弹性框架的扩展已将拉伸和剪切强度的各向异性纳入其中，以界定安全泥浆密度窗口（Ma等，2019，2022）。尽管如此，这些模型本质上仅限于干岩石条件，从而忽视了孔隙压力变化和孔隙弹性对井壁稳定性的关键影响。由衰竭引起的各向异性不排水孔隙压力响应已在页岩中进行了理论和实验研究（Duda等，2023；Soldal等，2025）。将孔隙弹性纳入解析各向异性井壁稳定性模型的尝试一直是部分的；例如，Liu等（2016）引入了一种倾斜井的各向异性井壁稳定性模型，通过各向异性Biot有效应力系数纳入孔隙弹性效应，但未考虑钻后瞬时的各向异性不排水孔隙弹性响应。Kanfar等（2015a，2015b）首先探讨了各向异性地层中的不排水孔隙压力响应，尽管其分析基于各向同性解。随后，Raaen等（2019）利用弹性Amadei应力解来表征各向异性不排水孔隙压力响应，进一步研究了不排水孔隙压力对各向异性井壁稳定性的影响（Asaka和Holt，2021）。然而，准确表示不排水孔隙弹性响应需要使用不排水孔隙弹性参数而非排水参数（Lu等，2025；Li等，2025）。Li等（2025）仅关注不排水孔隙压力响应，对于这种完全各向异性情况下的相应应力解和后续短期井壁稳定性的研究仍不充分。

虽然在横观各向同性地层的特定情况下存在一些解析不排水解，如Bobet（2011）推导了横观各向同性衬砌圆形隧道的不排水条件闭合解，或Tran等（2022）和Lu等（2025）获得了类似条件下的确定解，但这些均未涉及完全各向异性倾斜钻孔问题。此外，虽然Qiu等（2023a，2023b，2024）和Peng等（2023）近期的数值模拟研究了各向异性介质中倾斜井的时间依赖性孔隙压力和应力状态，但完全各向异性井壁稳定性问题的解析解仍然难以获得。

本研究旨在推导横观各向同性地层中任意倾斜钻孔的解析各向异性不排水孔隙弹性解，涵盖所有应力分量和孔隙压力变化。然后，通过将各向异性剪切破坏准则与所推导的各向异性Biot有效应力相结合来评估短期坍塌压力。最后，研究了不同井眼轨迹和弹性各向异性下的短期坍塌压力极坐标图。

2. 公式推导

本研究中，一口任意倾斜钻孔钻入具有任意层理面（BP）走向方位和倾角的横观各向同性孔隙弹性地层中，如图1所示。

[图1] 横观各向同性地层中任意倾斜钻孔示意图（修改自Qiu等，2023a）。图中展示了σ、σ、σ为地应力分量，p为初始孔隙压力，P为井眼压力。

当钻孔轴线既不垂直也不平行于横观各向同性地层中的各向同性面时，井眼问题变为完全各向异性问题（Amadei，1983）。PCS坐标系下的初始垂直应力、最小水平应力和最大水平应力分别记为σ、σ和σ。初始孔隙压力记为p。与以往的纯弹性模型（Kanfar等，2015a；Liu等，2016；Fang，2018；Wang等，2022）不同，本文考虑了钻后孔隙压力的变化及相应的不排水效应。

[图2] 坐标系示意图：（a）PCS（地应力主坐标系）；（b）BCS（井眼坐标系）；（c）BPCS（层理面/材料性质坐标系）（修改自Liu等，2016）。

原位应力和横观各向同性孔隙弹性参数需要转换到井眼坐标系（BCS）。在图2中，使用地理坐标系（GCS）作为参考，其中Xe、Ye和Ze轴的正方向分别指向北、东和下。原位主应力坐标系（PCS）由最大水平主应力方位角α和垂直应力与垂直方向的夹角β定义（图2(a)）。井眼坐标系（BCS）由井眼方位角和井斜角（α, β）确定（图2(b)）。在层理面（材料性质）坐标系（BPCS）中，BP由其倾向和倾角（α+π, β）定义（图2(c)）。

远场原位应力（σ, σ, σ）转换到BCS坐标系（σ, σ, σ, τ, τ和τ）可参考Liu等（2016），详见附录A。

符号表

下标说明：

• u, d：分别为不排水和排水情况
• GCS：地理坐标系
• PCS：原位主应力坐标系
• BCS：井眼坐标系
• BPCS：层理面/材料性质坐标系
• eff：Biot有效应力
• BP/bp：层理面

2.1 横观各向同性地层的孔隙弹性本构关系

压应力为正，拉应力为负。按照广义胡克定律的形式，横观各向同性地层的线性孔隙弹性本构方程为（Cheng，2016）：

其中：

其中 D 和 α 分别为BPCS下的刚度和Biot有效应力系数矩阵。σ、ε 为应力和应变张量，ζ 为单位体积流体含量变化，M 为Biot模量，p 为孔隙压力。在BPCS下，横观各向同性地层的排水刚度矩阵可表示为（Cheng，2016；Qiu等，2023a）：

其中：

其中，E、E′ 和 ν、ν′ 分别为平行和垂直于BP的排水弹性模量和泊松比。

根据Cheng（2016），固体颗粒体积模量K是与BP方向无关的常数，K为流体体积模量，BPCS下的Biot有效应力系数矩阵 α 和Biot模量M如下（Cheng，2016；Qiu等，2023a）：

其中：

其中 α、α 分别为平行和垂直于横向面的Biot有效应力系数。φ 为孔隙度，K* 为体积模量。

2.2 任意井眼轨迹的各向异性不排水孔隙弹性本构关系

在不排水条件下，钻后孔隙流体尚未从固体骨架中逸出，因此在式(1)中假设 ζ = 0。BPCS下式(1)的不排水本构关系可改写为：

其中 [α] = [α; α; α; 0; 0; 0]。

式(9)中的上述刚度本构关系可通过矩阵求逆转换为柔度方程：

其中 A = (D + M[α][α])，与Cheng（2016）一致。本研究中上标"u"表示不排水情况。

根据Bond坐标变换（Amadei，1983；Gaede等，2012；Setiawan和Zimmerman，2018；Fang，2018；Vitali等，2020；Qiu等，2023a），BCS下柔度张量 A 和Biot有效应力系数矩阵 α 的变换过程可表示为：

其中柔度张量的变换张量 N 由Lekhnitskii（1963）给出：

分量 l（i, j = 1–3）为BCS和BPCS下矩形轴向量的方向余弦：

其中：

其中从BPCS到BCS的变换张量 R、R 是井眼轨迹（α, β）和倾向及倾角（α+π, β）的函数。孔隙压力 p 作为标量在式(10)中经变换过程后不变。最终，BCS下任意井眼轨迹的增量各向异性不排水孔隙弹性本构关系为：

Cheng（1997, 2016）指出，对称的 A 中有21个独立分量，α 中有6个分量，加上1个M，对于一般各向异性共有28个独立材料常数。当钻孔不与各向同性面正交时，经过式(11–14)的坐标变换后，BCS下同样存在六个非零Biot有效应力系数，而非BPCS下的两个独立值，这反映了它们在BCS中的投影。

2.2.1 井壁上的不排水孔隙弹性应力分布

使用Amadei方法（1983），各向异性介质中井壁上的总不排水应力集中可推导为：

其中BCS下的原位应力分量分别记为 σ、σ、σ、τ、τ 和 τ。上标和下标"u"和"d"分别表示本研究中的不排水和排水情况。使用Lekhnitskii和Amadei方法获得三个具有纯虚数或复虚数的不排水特征根 μ（i = 1, 2, 3）。感兴趣的读者可参阅Lekhnitskii（1963）、Amadei（1983）、Liu等（2016）和Wang等（2022）获取更多细节。需要注意的是，式(11)中的不排水柔度矩阵 A 与BPCS下的排水柔度矩阵 D 不同。因此，BCS下相应的两个矩阵 A、A 也不同，三个不排水特征根 μ（i = 1, 2, 3）与排水特征根 μ（i = 1, 2, 3）不相同。这一区别将在第3.2节进一步讨论。

解析函数（ϕ'（i = 1, 2, 3））由边界条件确定（Liu等，2016）：

其中：

复变量 λ（i = 1, 2, 3）定义为：

其中 β 为来自柔度矩阵 A 的约化应变系数：

表1 输入参数（来自Liu等（2016）和Gao等（2021））

2.2.2 利用排水Amadei应力解的不排水孔隙弹性响应

现有模型忽略了不排水与弹性/排水应力解之间的差异（Amadei，1983；Liu等，2016）。现有弹性解由Amadei解（1983）使用排水参数给出：

其中使用通用弹性排水参数，上标和下标为"d"。式(16–20)中相应的排水参数由Amadei（1983）和Liu等（2016）给出。

Raaen等（2019）使用各向异性Skempton系数和弹性Amadei应力解来获得不排水孔隙压力分布。类似地，使用弹性Amadei应力解和六个非零Biot有效应力系数诱发的不排水孔隙压力分布为：

2.2.3 BCS下井壁上的应力分布

柱坐标系下井壁上的应力分量可表示为（Hou等，2013；Zhang等，2021；Ma等，2022）：

其中 σ、σ 和 σ 分别为径向、环向和轴向应力分量，τ、τ、τ 为三个剪应力分量。θ 为圆周角。根据式(23)，剪应力分量 τ = τ = 0，因此井壁上的径向应力 σ = P 为主应力。因此，三个主应力可表示为：

假设在井眼瞬时开挖时发生无任何孔隙压力消散的不排水状态。考虑不透水井眼边界条件，井壁处/附近的相应极限孔隙压力变化为：

考虑各向异性孔隙弹性效应，井壁上的Biot有效应力张量为：

其中 α（i, j = x, y, z）为式(11)中各向异性Biot有效应力系数矩阵 α 中的元素。与各向同性情况不同，BCS下与剪应力分量相关的Biot有效应力系数 α、α、α 不一定为零，意味着 Δσ 中所有诱发应力分量均影响式(15)中的不排水孔隙压力变化。在各向异性情况下，正应力变化可能由剪应力分量引起，这通常称为剪切-拉伸耦合效应（Liu等，2016）。因此，各向异性孔隙弹性响应应综合考虑剪切-拉伸和流固耦合效应的影响。

此外，由于六个非零各向异性Biot有效应力系数，可以预期Biot有效径向应力分量不一定是主应力。然后按照Zhang等（2015）的方法，井壁上三个有效主应力等效于式(26)中有效应力张量 σ 的三个特征值，可由下式获得：

其中 E 为单位矩阵，S（i = 1–3）为相应的三个特征值。

 

[图3] 各向同性情况下本文与现有解的不排水应力和孔隙压力分布对比：(a) 总正应力分布；(b) 总剪应力分布；(c) 不排水孔隙压力。

2.3 坍塌压力的确定

2.3.1 完整基体的剪切破坏

考虑中间主应力的影响，基于Al-Ajmi和Zimmerman（2005）发展的三维Mogi-Coulomb准则的岩石破坏势可表示为：

其中 c 和 ϕ 为基体的内聚力和摩擦角，S（i = 1–3）分别为式(27)中的最大、中间和最小特征值。

2.3.2 弱面BP的剪切破坏

基于Mohr-Coulomb准则，弱面BP的破坏势由Lee等（2012）给出：